Обновлено:
Найти радиус r
Нужно найти радиус r, а известны другие параметры фигуры – площадь, длина окружности, диаметр или хорда? Формула зависит от того, какие данные у вас есть. Ниже – сводка всех основных способов вычислить радиус по известным величинам.
Таблица формул: как найти радиус r
| Что известно | Формула |
|---|---|
| Диаметр d | r = d / 2 |
| Длина окружности C | r = C / (2π) |
| Площадь круга S | r = √(S / π) |
| Длина дуги l и центральный угол α (в рад.) | r = l / α |
| Площадь сектора S и центральный угол α (в рад.) | r = √(2S / α) |
| Хорда c и высота сегмента h | r = (h² + (c/2)²) / (2h) |
| Площадь поверхности сферы S | r = √(S / 4π) |
| Объём шара V | r = ∛(3V / 4π) |
Радиус по диаметру
Самый простой случай. Диаметр проходит через центр и соединяет две точки окружности, поэтому он всегда вдвое больше радиуса:
r = d / 2
Пример. Диаметр колеса велосипеда – 700 мм. Радиус: 700 / 2 = 350 мм.
Радиус по длине окружности
Длина окружности связана с радиусом формулой C = 2πr. Преобразуем её:
r = C / (2π)
Пример. Длина окружности колодца – 3,14 м. Радиус: 3,14 / (2 × 3,14159) ≈ 0,5 м, то есть 50 см.
Найти радиус r по площади круга
Площадь круга выражается как S = πr². Выражаем радиус:
r = √(S / π)
Пример. Площадь круглой клумбы – 78,54 м². Радиус: √(78,54 / 3,14159) = √25 = 5 м.
Радиус по хорде и высоте сегмента
Иногда известна хорда (отрезок между двумя точками окружности) и высота сегмента (расстояние от середины хорды до дуги). Тогда:
r = (h² + (c/2)²) / (2h)
где c – длина хорды, h – высота сегмента.
Пример. Хорда равна 24 см, высота сегмента – 8 см. Радиус: (64 + 144) / 16 = 208 / 16 = 13 см.
Радиус по длине дуги и углу
Длина дуги l связана с радиусом и центральным углом α (в радианах) соотношением l = rα. Значит:
r = l / α
Важно: угол должен быть именно в радианах. Если он задан в градусах, сначала переведите: α (рад.) = α° × π / 180.
Пример. Дуга равна 15 см, центральный угол – 75°. Переводим: 75 × π / 180 ≈ 1,309 рад. Радиус: 15 / 1,309 ≈ 11,46 см.
Радиус по площади сектора и углу
Площадь сектора: S = αr² / 2. Выражаем r:
r = √(2S / α)
Пример. Площадь сектора – 50 см², центральный угол – 1,25 рад. Радиус: √(2 × 50 / 1,25) = √80 ≈ 8,94 см.
Радиус сферы
Для сферы действуют другие формулы, поскольку у неё нет площади круга, а есть площадь поверхности и объём.
По площади поверхности: r = √(S / 4π)
По объёму шара: r = ∛(3V / 4π)
Пример. Объём мяча – 36 000 см³. Радиус: ∛(3 × 36 000 / 4π) = ∛(27 000 / π) ≈ ∛8 594 ≈ 20,5 см.
Радиус вписанной и описанной окружности
При работе с многоугольниками часто нужно найти радиус окружности, вписанной в фигуру или описанной вокруг неё.
Радиус вписанной окружности (касается всех сторон изнутри):
- Общая формула: r = A / p, где A – площадь фигуры, p – полупериметр
- Для равностороннего треугольника со стороной a: r = a√3 / 6
- Для квадрата со стороной a: r = a / 2
Радиус описанной окружности (проходит через все вершины):
- Для равностороннего треугольника со стороной a: R = a√3 / 3
- Для квадрата со стороной a: R = a√2 / 2
- Для произвольного треугольника: R = abc / (4A), где a, b, c – стороны
Пример. Равносторонний треугольник со стороной 12 см. Радиус вписанной окружности: 12√3 / 6 = 2√3 ≈ 3,46 см. Радиус описанной: 12√3 / 3 = 4√3 ≈ 6,93 см.
Как не ошибиться при расчёте радиуса
- Проверяйте единицы измерения. Все величины должны быть в одной системе. Если площадь в см², радиус будет в сантиметрах.
- Угол – в радианах. Большинство формул с участием угла требуют именно радианы. Не забудьте перевести, если угол задан в градусах.
- Извлекайте корень из положительного числа. Если подкоренное выражение отрицательное – данные противоречивы, перепроверьте исходные значения.
- Не путайте длину дуги и длину хорды. Дуга – криволинейный участок окружности, хорда – прямой отрезок. Дуга всегда длиннее хорды для того же сектора.
Часто задаваемые вопросы
Чем радиус отличается от диаметра?
Диаметр – это отрезок, проходящий через центр окружности от одной точки до другой. Радиус – это половина диаметра, то есть отрезок от центра до любой точки на окружности. Формула: r = d / 2.
Как найти радиус, если известен только угол сектора?
Только по углу сектора радиус определить невозможно – при одном и том же угле радиус может быть любым. Нужно знать хотя бы ещё одну величину: площадь сектора, длину дуги или хорду.
Какой радиус у единичной окружности?
У единичной окружности радиус равен 1. Такая окружность с центром в начале координат используется в тригонометрии для определения значений sin, cos и других функций.
Может ли радиус быть отрицательным?
Нет, радиус – это длина отрезка, а длина не может быть отрицательной. Если при расчёте получилось отрицательное число, значит, в исходных данных допущена ошибка.
Как найти радиус вписанной окружности треугольника?
Радиус вписанной окружности r = A / p, где A – площадь треугольника, p – полупериметр. Для равностороннего треугольника со стороной a формула упрощается: r = a√3 / 6.
В чём разница между радиусом окружности и радиусом сферы?
Формулы для нахождения радиуса по площади и объёму отличаются. У сферы поверхность S = 4πr², поэтому r = √(S / 4π). По объёму: r = ∛(3V / 4π).