Обновлено: 6 мая 2026 г.

Радиус описанной окружности треугольника

Около любого треугольника на плоскости можно построить ровно одну окружность, проходящую через все три его вершины. Чтобы найти радиус окружности описанной около треугольника, используют универсальные формулы через стороны и площадь, через сторону и угол, а для прямоугольных и равносторонних фигур – упрощённые выражения.

Как найти радиус окружности описанной около треугольника: основные формулы

Выбор формулы зависит от того, какие данные известны: длины сторон, углы или координаты вершин.

Через три стороны и площадь

Если известны длины сторон a, b, c и площадь S, радиус описанной окружности определяется соотношением:

R = (a · b · c) / (4S)

Это самая универсальная формула. Она работает для остроугольных, тупоугольных и прямоугольных треугольников. Если площадь не дана, сначала находят полупериметр p = (a + b + c) / 2, а затем площадь по формуле Герона:

S = √p(p − a)(p − b)(p − c)

Через сторону и противолежащий угол

Из теоремы синусов следует прямая связь между стороной треугольника, противолежащим углом и радиусом описанной окружности:

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

Отсюда радиус находится за один шаг:

R = a / (2 sin A)

Достаточно знать одну сторону и угол, ей противолежащий. Этот способ особенно эффективен, когда стороны заданы неявно через тригонометрические соотношения.

Для равностороннего треугольника

В правильном треугольнике все центры совпадают. Радиус описанной окружности выражается через длину стороны a:

R = a / √3

Чему равен радиус описанной окружности прямоугольного треугольника?

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является диаметром описанной окружности. Это следствие теоремы о вписанном угле, опирающемся на диаметр: такой угол прямой. Поэтому центр окружности лежит в середине гипотенузы, а радиус равен её половине:

R = c / 2

где c – гипотенуза.

Например, если катеты равны 6 и 8, по теореме Пифагора гипотенуза c = 10. Следовательно, радиус описанной окружности R = 5.

Как вычислить радиус по координатам вершин?

Если вершины заданы координатами A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃), радиус находят двумя путями.

Первый способ – через формулу R = abc / 4S. Стороны вычисляются по координатам:

a = √((x₂ − x₃)² + (y₂ − y₃)²)
b = √((x₁ − x₃)² + (y₁ − y₃)²)
c = √((x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²)

Площадь S находят через определитель:

S = ½ |(x₂ − x₁)(y₃ − y₁) − (x₃ − x₁)(y₂ − y₁)|

Второй способ – аналитический. Составляют систему уравнений окружности с центром O(x; y), приравнивая расстояния от центра до вершин. Решая систему, находят координаты центра, после чего радиус – как расстояние от O до любой вершины.

Онлайн-калькулятор

Калькулятор принимает длины трёх сторон треугольника, вычисляет площадь по формуле Герона и выдаёт радиус описанной окружности по универсальной формуле R = abc / 4S.

Примеры решения задач

Задача 1. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите радиус описанной окружности.

Полупериметр p = (5 + 6 + 7) / 2 = 9.

Площадь по Герону: S = √(9 · 4 · 3 · 2) = √216 = 6√6.

Радиус: R = (5 · 6 · 7) / (4 · 6√6) = 210 / (24√6) = 35 / (4√6). Рационализуя, получаем R = 35√6 / 24 ≈ 3,57.

Задача 2. Сторона треугольника 8 см, а противолежащий угол – 30°. Определите R.

По теореме синусов: R = 8 / (2 · sin 30°) = 8 / (2 · 0,5) = 8 см.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике катеты 9 и 12. Найдите диаметр описанной окружности.

Гипотенуза c = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15. Диаметр равен гипотенузе, то есть 15. Радиус составит 7,5.

Положение центра описанной окружности

Центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. В зависимости от типа треугольника его расположение меняется:

в остроугольном – центр внутри треугольника;
в прямоугольном – в середине гипотенузы;
в тупоугольном – вне треугольника, напротив тупого угла.

Расстояние от центра до любой вершины всегда равно радиусу R. Это свойство используется при геометрических построениях: достаточно найти две точки, равноудалённые от вершин, чтобы определить центр.

Часто задаваемые вопросы

Что такое описанная окружность треугольника?

Это окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Центр такой окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от центра до любой вершины.

Можно ли описать окружность около любого треугольника?

Да, около любого треугольника можно описать ровно одну окружность. Для остроугольного треугольника центр лежит внутри, для прямоугольного – в середине гипотенузы, для тупоугольного – вне треугольника.

Как найти радиус описанной окружности, если известны только стороны?

Найдите площадь по формуле Герона, а затем подставьте значения в формулу R = abc / 4S, где a, b, c – стороны, а S – площадь треугольника.

Как связаны теорема синусов и радиус описанной окружности?

Теорема синусов утверждает, что отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности: a / sin A = 2R. Отсюда радиус находится как R = a / (2 sin A).

Чему равен радиус описанной окружности равностороннего треугольника?

Для равностороннего треугольника со стороной a радиус описанной окружности вычисляется по формуле R = a / √3. Центр совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Как найти центр описанной окружности треугольника?

Центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров ко всем трём сторонам. На практике достаточно построить два таких перпендикуляра – их пересечение и даст центр окружности.