Обновлено: 9 мая 2026 г.

Найти радиус окружности около квадрата

Чтобы найти радиус окружности около квадрата, достаточно разделить длину его диагонали на два. Если известна сторона a, формула принимает вид: R = (a√2) / 2 или R ≈ a / 1,414. Радиус описанной окружности всегда равен половине диагонали, потому что центр фигуры одновременно является центром окружности, а все четыре вершины квадрата лежат на её границе.

Что известно о квадрате?

Сторона (a) Диагональ (d) Площадь (S) Периметр (P)

Введите значение

Допустимы дробные числа. Единицы измерения подставятся в ответ.

Единицы измерения

см

Синяя – описанная окружность (радиус R). Пунктирная – вписанная (радиус r).

Показать формулы и пояснения

Расчёт основан на свойстве квадрата: центр описанной окружности совпадает с пересечением диагоналей.

По стороне: R = a / √2
По диагонали: R = d / 2
По площади: R = √(S / 2)
По периметру: R = P / (4√2)

Радиус вписанной окружности всегда в √2 раз меньше радиуса описанной.

Калькулятор выше автоматически преобразует введённые данные. Логика расчёта строится на приведении любого известного параметра к длине диагонали с последующим делением на два, что исключает ошибки ручного округления √2.

Как найти радиус окружности около квадрата?

Выбор математического выражения зависит от исходных величин. В планиметрии достаточно одной известной линейной или площадной характеристики, чтобы вывести точный радиус.

По стороне квадрата (a) Самый частый вариант задачи. Диагональ правильного четырёхугольника всегда в √2 раз больше его стороны. Делим её пополам: R = (a × √2) / 2 или R = a / √2

По диагонали (d) Если диагональ уже измерена или задана в условии, дополнительные преобразования не требуются: R = d / 2

По площади (S) Площадь связана со стороной квадратичной зависимостью: a = √S. Подставляем в базовое соотношение: R = √(S / 2)

По периметру (P) Периметр квадрата равен P = 4a, следовательно, a = P / 4. Итоговый расчёт выглядит так: R = P / (4 × √2) или R ≈ P / 5,657

Пошаговый расчёт на примере

Разберём типовую задачу с конкретными числами. Дано: сторона квадрата a = 120 мм. Требуется определить радиус окружности, проходящей через все углы фигуры.

Записываем формулу для известной стороны: R = (a√2) / 2.
Подставляем значение: R = (120 × 1,4142) / 2.
Выполняем умножение: 120 × 1,4142 = 169,704.
Делим результат на два: 169,704 / 2 = 84,852.

Ответ: радиус составляет 84,85 мм (округление до сотых допустимо для инженерных чертежей).

Если задача решается через диагональ, измеренную рулеткой как d = 170 мм, результат будет R = 170 / 2 = 85 мм. Расхождение в 0,15 мм возникает из-за инструментальной погрешности ручного измерения, а не ошибки формулы.

Описанная и вписанная окружность: в чём разница

Путаница между двумя конструкциями меняет результат вдвое. Описанная окружность проходит строго через вершины квадрата. Её радиус всегда больше половины стороны и зависит от √2.

Вписанная окружность касается середины каждой стороны изнутри. Её радиус вычисляется без корней: r = a / 2. Центр у обеих фигур общий, но масштабы различаются в √2 раз. Для квадрата со стороной 10 см описанная окружность имеет радиус ≈7,07 см, а вписанная – ровно 5 см.

Практическое применение формулы

Расчёт радиуса окружности около квадрата используется при проектировании круглых элементов внутри квадратных заготовок. Инженеры применяют соотношение при разметке фланцев, разработке шаблонов для лазерной резки металла и планировке опорных колонн. В графическом дизайне правило помогает точно масштабировать круглые логотипы относительно квадратных носителей без искажения пропорций.

Частые ошибки при вычислениях

Смешение окружностей. Подстановка формулы r = a/2 даёт радиус вписанной, а не описанной фигуры. Проверяйте условие на наличие слов «проходит через вершины».
Округление √2. Использование значения 1,4 вместо 1,41421356 вносит погрешность свыше 1%. Для технических расчётов берите не менее трёх знаков после запятой.
Единицы измерения. Площадь задаётся в квадратных единицах, периметр – в линейных. Перед подстановкой в уравнения убедитесь, что все данные приведены к одной шкале (мм, см, м).
Прямоугольник вместо квадрата. Если фигура не является правильным четырёхугольником, соотношение сторон и диагонали меняется. Для произвольного прямоугольника используйте d = √(a² + b²).

Часто задаваемые вопросы

Что делать, если известна только площадь квадрата?

Выразите сторону через площадь: a = √S. Затем подставьте в основную формулу R = a√2 / 2. Получится универсальный вариант R = √(S/2). Таким образом, формула исключает промежуточное вычисление стороны и сразу даёт результат в линейных единицах измерения. Например, при площади 50 см² радиус составит √25 = 5 см.

Подойдёт ли эта формула для прямоугольника?

Да, принцип тот же: радиус равен половине диагонали. Для прямоугольника со сторонами a и b диагональ вычисляют по теореме Пифагора: d = √(a² + b²). Итоговая формула: R = √(a² + b²) / 2. Метод работает для любого прямоугольника, поскольку все они вписываются в окружность с одинаковыми свойствами симметрии.

В каких единицах измерять результат?

Единица измерения радиуса всегда совпадает с единицей исходных линейных данных. Если сторона задана в миллиметрах, результат будет в миллиметрах. При расчётах через площадь необходимо извлечь квадратный корень, чтобы перейти от квадратных единиц обратно к линейным величинам. Не смешивайте системы в одном уравнении.

Почему центр описанной окружности совпадает с центром квадрата?

Квадрат обладает центральной симметрией. Диагонали равны, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения строго пополам. Эта точка равноудалена от всех четырёх вершин, что геометрически гарантирует совпадение центра фигуры с центром описанной окружности. Доказательство опирается на свойства равнобедренных треугольников.

Чем описанная окружность отличается от вписанной?

Описанная окружность проходит через вершины фигуры, а вписанная касается сторон изнутри. Радиус вписанной окружности вдвое меньше: r = a/2. Для квадрата со стороной 10 см описанная окружность имеет радиус ≈7,07 см, а вписанная – ровно 5 см. Выбор формулы зависит от того, где расположены точки касания.