Найти производную y

9 мая 2026 г.

Производная функции y = f(x) показывает, насколько быстро меняется y при изменении x. Чтобы найти производную y, нужно знать таблицу базовых производных и четыре правила: суммы, произведения, частного и сложной функции. Ниже – компактная инструкция и разбор типовых примеров.

Что такое производная и как её обозначают

Производная – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

Распространённые обозначения: y′, f′(x), dy/dx, Df. Все они эквивалентны.

Примеры для быстрой проверки

Калькулятор выше принимает функцию y от x в стандартной записи (x^2, sin(x), ln(x), e^x, sqrt(x)) и возвращает символьное выражение производной, а также её значение в указанной точке. Поддерживаются сумма, произведение, частное и композиция функций.

Как найти производную y: пошаговый алгоритм

Определите тип функции. Это многочлен, дробь, произведение, корень, тригонометрия, логарифм или их комбинация.
Разложите на составляющие. Если функция – сумма, дифференцируйте каждое слагаемое отдельно.
Примените правило дифференцирования под структуру: произведение → правило произведения, дробь → правило частного, вложенность → цепное правило.
Используйте табличную производную для каждой элементарной функции.
Упростите ответ: приведите подобные, вынесите общий множитель.

Таблица основных производных

Функция y	Производная y′
C (константа)	0
x	1
xⁿ	n·xⁿ⁻¹
√x	1/(2√x)
1/x	−1/x²
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ·ln a
ln x	1/x
logₐ x	1/(x·ln a)
sin x	cos x
cos x	−sin x
tg x	1/cos²x
ctg x	−1/sin²x
arcsin x	1/√(1−x²)
arctg x	1/(1+x²)

Правила дифференцирования

Сумма: (u + v)′ = u′ + v′
Константа-множитель: (C·u)′ = C·u′
Произведение: (u·v)′ = u′·v + u·v′
Частное: (u/v)′ = (u′·v − u·v′)/v²
Сложная функция: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)

Примеры: как продифференцировать y по x

Пример 1. Многочлен. y = 3x⁴ − 5x² + 7x − 2. По правилу степени и сумме: y′ = 12x³ − 10x + 7.

Пример 2. Произведение. y = x²·sin x. По правилу произведения: y′ = 2x·sin x + x²·cos x.

Пример 3. Частное. y = (2x + 1)/(x − 3). y′ = [2·(x − 3) − (2x + 1)·1] / (x − 3)² = −7/(x − 3)².

Пример 4. Сложная функция. y = sin(x²). Внешняя – sin, внутренняя – x²: y′ = cos(x²) · 2x = 2x·cos(x²).

Пример 5. Логарифм сложного аргумента. y = ln(3x² + 1). y′ = (1/(3x² + 1)) · 6x = 6x/(3x² + 1).

А как найти производную в конкретной точке?

Сначала находят y′(x) как функцию, затем подставляют нужное значение x.

Пример: y = x³ − 4x, найти y′(2). y′ = 3x² − 4. Подставляем: y′(2) = 3·4 − 4 = 8.

Геометрически это означает, что касательная к графику в точке x = 2 имеет угловой коэффициент 8.

Частые ошибки при дифференцировании

Забывают цепное правило в выражениях типа (sin(2x))′. Верно: 2·cos(2x), а не cos(2x).
Путают (xⁿ)′ и (aˣ)′. Степенная функция и показательная дифференцируются по разным формулам.
Теряют знак в производных cos x и ctg x – там минус.
Применяют (u·v)′ = u′·v′ – это неверно, нужно правило произведения.
Не упрощают ответ, из-за чего сложно сверить с эталоном.

Неявная функция и параметрические задачи

Если y задано неявно, например x² + y² = 25, обе части дифференцируют по x, считая y функцией x: 2x + 2y·y′ = 0, откуда y′ = −x/y.

Для параметрической записи x = x(t), y = y(t) применяют формулу: dy/dx = y′ₜ / x′ₜ.

Материал носит справочный характер; перед применением в учебной или научной работе сверяйте результат с условиями задачи.

Часто задаваемые вопросы

Что значит «найти производную y»?

Это значит вычислить функцию y′(x), описывающую скорость изменения y относительно x. Геометрически производная – тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке. В физическом смысле – мгновенная скорость изменения величины.

Чему равна производная константы?

Производная любого числа равна нулю: (C)′ = 0. Это значит, что постоянная величина не меняется, и скорость её изменения нулевая. Например, если y = 7, то y′ = 0.

Как найти производную сложной функции?

Нужно применить цепное правило: производная внешней функции по промежуточному аргументу умножается на производную внутренней функции. Формально: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x). Например, (sin(2x))′ = cos(2x) · 2.

В чём разница между y′ и dy/dx?

Это два равноценных обозначения одной и той же производной. Запись y′ (Лагранж) короче, dy/dx (Лейбниц) удобнее при подстановке и работе с дифференциалами. Встречается ещё обозначение Df или ẏ – последнее обычно для производной по времени.

Как проверить, правильно ли найдена производная?

Подставьте в исходную и в найденную функцию одно и то же значение x, затем сравните результат с приближённой производной (f(x+h) − f(x))/h при малом h, например 0,0001. Если значения близки – расчёт верен. Также помогает онлайн-калькулятор.

Когда производная не существует?

В точках разрыва, излома (например, y = |x| при x = 0), вертикальной касательной и в точках, где функция не определена. Если левый и правый пределы разностного отношения не совпадают, производной в этой точке нет.