Найти производную f

Задача «найти производную f» встречается на каждом шагу в курсе математического анализа – от школьных контрольных до университетских экзаменов. Ниже – полный набор инструментов: определение, таблица элементарных производных, правила дифференцирования и разобранные примеры разной сложности.

Что такое производная функции f(x)

Производная функции f в точке x – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение стремится к нулю:

f’(x) = lim (Δx → 0) [f(x + Δx) − f(x)] / Δx

Геометрический смысл: f’(x) равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Физический смысл: мгновенная скорость изменения величины.

Обозначения-синонимы: f’(x), df/dx, Df, ẏ (точка – для функций времени).

Таблица производных элементарных функций

Прежде чем применять правила, нужно знать производные базовых функций. Ниже – основные формулы (C – константа, a > 0, a ≠ 1):

Эту таблицу достаточно выучить – всё остальное сводится к правилам комбинирования.

Основные правила дифференцирования

Линейность

• (C · f)’ = C · f'
• (f ± g)’ = f’ ± g'

Константу можно вынести за знак производной, а производная суммы равна сумме производных.

Произведение и частное

• (f · g)’ = f’ · g + f · g’ – правило произведения (Лейбница)
• (f / g)’ = (f’ · g − f · g’) / g² – правило частного

Сложная функция (цепное правило)

Если y = f(g(x)), то:

y’ = f’(g(x)) · g’(x)

Цепное правило – самый важный инструмент. Большинство задач на «найти производную f» требуют именно его.

Производная обратной функции

Если y = f⁻¹(x), то:

y’ = 1 / f’(y)

Именно так выводятся производные arcsin, arccos и остальных обратных функций.

Как найти производную f: пошаговый алгоритм

1. Определите тип функции – элементарная, сумма, произведение, частное или композиция.
2. Упростите выражение, если возможно: раскройте скобки, приведите к степеням (√x → x^(1/2), 1/x³ → x^(−3)).
3. Примените подходящее правило – линейность, произведение, частное или цепное.
4. Возьмите производные внутренних функций по таблице.
5. Упростите результат – приведите подобные, сократите дроби.

Разбор примеров

Пример 1: степенная функция

f(x) = 3x⁵ − 7x² + 4x − 9

По правилу линейности берём производную каждого слагаемого:

f’(x) = 3·5x⁴ − 7·2x + 4·1 − 0 = 15x⁴ − 14x + 4

Пример 2: сложная функция (цепное правило)

f(x) = sin(5x² + 1)

Внешняя функция – sin(u), внутренняя – u = 5x² + 1.

f’(x) = cos(5x² + 1) · (5x² + 1)’ = cos(5x² + 1) · 10x = 10x · cos(5x² + 1)

Пример 3: произведение функций

f(x) = x³ · e^x

По правилу Лейбница:

f’(x) = (x³)’ · e^x + x³ · (e^x)’ = 3x² · e^x + x³ · e^x = e^x · (3x² + x³) = x² · e^x · (3 + x)

Пример 4: частное

f(x) = (2x + 1) / (x² − 3)

f’(x) = [2 · (x² − 3) − (2x + 1) · 2x] / (x² − 3)²

Числитель: 2x² − 6 − 4x² − 2x = −2x² − 2x − 6

f’(x) = (−2x² − 2x − 6) / (x² − 3)²

Пример 5: двойное применение цепного правила

f(x) = e^(sin²x)

Три слоя: e^u, u = v², v = sin x.

f’(x) = e^(sin²x) · 2 sin x · cos x = e^(sin²x) · sin 2x

Здесь использовано тождество 2 sin x · cos x = sin 2x.

Какие ошибки чаще всего допускают при дифференцировании?

Забывают внутреннюю производную. (sin 3x)’ ≠ cos 3x. Правильно: cos 3x · 3 = 3 cos 3x. Каждый раз, когда аргумент не просто «x», нужно цепное правило.

Путают знак у косинуса. (cos x)’ = −sin x, а не +sin x.

Неверно применяют правило частного. Порядок в числителе: f’·g минус f·g’, а не наоборот. Перестановка меняет знак.

Не упрощают перед дифференцированием. Выражение (x³ − x) / x проще сначала сократить до x² − 1, чем дифференцировать как дробь.

Принимают (f · g)’ за f’ · g’. Производная произведения не равна произведению производных – обязательно правило Лейбница.

Частные случаи и приёмы

Показательно-степенная функция u(x)^v(x)

Если и основание, и показатель зависят от x, ни степенное правило, ни показательное не работают напрямую. Решение – логарифмическое дифференцирование:

y = u^v → ln y = v · ln u → y’/y = v’ · ln u + v · u’/u → y’ = u^v · (v’ · ln u + v · u’/u)

Пример: f(x) = x^x → f’(x) = x^x · (ln x + 1).

Неявное дифференцирование

Если f задана уравнением (например, x² + y² = 25), дифференцируйте обе части по x, считая y функцией от x, и выражайте y'.

Параметрическое задание

Если x = x(t), y = y(t), то y’_x = y’_t / x’_t.

Краткая шпаргалка

Этого набора правил и таблицы элементарных производных достаточно, чтобы найти производную f практически любой аналитически заданной функции. Главное – верно определить структуру выражения и аккуратно применить цепное правило на каждом уровне вложенности.