Найти произведение суммы

11 мая 2026 г.

При упрощении выражений или решении уравнений часто требуется перемножить суммы или умножить сумму на число. Такая операция называется нахождением произведения суммы, а её результат получают раскрытием скобок по правилу дистрибутивности.

Как найти произведение суммы на число

Основное правило записывается через распределительное свойство умножения относительно сложения:

(a + b) · c = a·c + b·c

Число c поочерёдно умножается на каждое слагаемое внутри скобок, после чего результаты складываются. То же справедливо и для разности:

(a − b) · c = a·c − b·c

Если множитель стоит перед скобкой, логика не меняется: c(a + b) = ca + cb.

Как раскрыть произведение двух сумм?

Когда нужно умножить одну сумму на другую, каждое слагаемое первой скобки умножают на каждое слагаемое второй:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

После раскрытия важно привести подобные члены, если они есть. Подобными называются слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Пошаговый пример с числами

Найдём произведение суммы (5 + 3) · 4.

Первый способ – сначала сложить, потом умножить: 8 · 4 = 32.

Второй способ – через раскрытие скобок:

5 · 4 = 20
3 · 4 = 12
20 + 12 = 32

Теперь умножим две суммы: (2 + 5)(3 + 4).

2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
Складываем: 6 + 8 + 15 + 20 = 49

Проверка: (2 + 5)(3 + 4) = 7 · 7 = 49.

Пример с переменными

Упростим выражение (3x + 2)(x − 4).

3x · x = 3x²
3x · (−4) = −12x
2 · x = 2x
2 · (−4) = −8

Складываем все члены: 3x² − 12x + 2x − 8 = 3x² − 10x − 8.

Если в скобках перед суммой стоит знак минус, например −(2a + 3b), он эквивалентен умножению на −1: −2a − 3b.

Типичные ошибки при раскрытии скобок

Неполное умножение. Умножить только первое слагаемое и приписать второе: (a + b)c = ac + b. Ошибка – второе слагаемое тоже умножается на c.
Пропуск знаков. При умножении отрицательных чисел или вычитании в скобках путают знаки. Минус на минус даёт плюс, а минус на плюс – минус.
Забытые подобные члены. После раскрытия двух сумм нужно сложить члены с одинаковыми переменными, иначе ответ останется неупрощённым.

Обобщение на несколько слагаемых

Распределительное свойство работает для любого количества слагаемых:

(a + b + c + d) · k = ak + bk + ck + dk

И при умножении суммы на сумму с большим числем членов алгоритм тот же: каждый член первой скобки умножается на каждый член второй, затем проводится приведение подобных.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли умножать сумму на сумму?

Да. Каждое слагаемое первой суммы поочерёдно умножают на каждое слагаемое второй, а результаты складывают: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.

Чем произведение суммы отличается от суммы произведений?

Произведение суммы – это результат умножения суммы на число или другую сумму. Сумма произведений – это сложение уже готовых произведений. При раскрытии скобок они превращаются друг в друга по распределительному свойству.

Как раскрыть скобки, если перед ними стоит минус?

Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри на противоположный. Это частный случай умножения на −1: −(a+b)=−a−b.

Работает ли правило для трёх и более слагаемых?

Да. Распределительное свойство справедливо для любого количества слагаемых: (a+b+c)·k = ak+bk+ck.

Где используют нахождение произведения суммы?

В алгебре при упрощении многочленов, в экономике для расчёта общей стоимости товаров разных категорий, в программировании при составлении формул и фильтров.

Есть ли разница между (a+b)c и c(a+b)?

Нет. Умножение коммутативно, поэтому сумму можно умножать на число справа или слева: (a+b)c = c(a+b) = ac+bc.