Площадь треугольника – формулы и ответы

Задача найти площадь треугольника и получить ответ возникает в школьной программе с 5-го класса, а затем повторяется в стереометрии, тригонометрии и на ЕГЭ. Способ расчёта зависит от того, какие данные даны в условии: основание и высота, три стороны, две стороны и угол или координаты вершин.

Площадь треугольника через основание и высоту

Это базовая формула, с которой начинают изучение темы:

S = ½ × a × h

• a – длина основания (любой стороны треугольника)
• h – высота, опущенная на это основание

Пример с ответом

Условие: основание треугольника равно 12 см, высота – 7 см.

Решение: S = ½ × 12 × 7 = 42 см²

Ответ: 42 см².

Формула работает для любого треугольника – остроугольного, тупоугольного и прямоугольного. Важно только правильно определить высоту: для тупоугольного треугольника она может падать на продолжение стороны за пределы фигуры.

Формула Герона – площадь по трём сторонам

Когда известны длины всех трёх сторон, площадь находят по формуле Герона:

S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))

где p – полупериметр:

p = (a + b + c) / 2

Пример с ответом

Условие: стороны треугольника равны 5 см, 8 см и 11 см.

Решение:

1. p = (5 + 8 + 11) / 2 = 12
2. S = √(12 × (12 − 5) × (12 − 8) × (12 − 11))
3. S = √(12 × 7 × 4 × 1)
4. S = √336 ≈ 18,33 см²

Ответ: ≈ 18,33 см².

Формула Герона особенно полезна, когда высоту измерить невозможно, а стороны известны. Перед расчётом стоит проверить, что данные стороны вообще образуют треугольник: сумма любых двух должна быть больше третьей.

Площадь по двум сторонам и углу между ними

Если даны две стороны и угол между ними, используют тригонометрическую формулу:

S = ½ × a × b × sin(γ)

• a, b – две стороны
• γ – угол между этими сторонами (в градусах или радианах)

Пример с ответом

Условие: стороны 10 см и 14 см, угол между ними 30°.

Решение:

1. sin 30° = 0,5
2. S = ½ × 10 × 14 × 0,5 = 35 см²

Ответ: 35 см².

Эту формулу удобно применять, когда треугольник задан на чертеже с указанием углов, или в задачах по физике (например, при расчёте площади векторного произведения).

Как найти площадь треугольника по координатам вершин

Когда вершины заданы в декартовой системе координат, площадь вычисляют так:

S = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|

Пример с ответом

Условие: вершины A(1; 2), B(5; 2), C(3; 8).

Решение:

1. S = ½ |1·(2 − 8) + 5·(8 − 2) + 3·(2 − 2)|
2. S = ½ |1·(−6) + 5·6 + 3·0|
3. S = ½ |−6 + 30 + 0|
4. S = ½ × 24 = 12 кв. ед.

Ответ: 12 кв. ед.

Если ответ получился отрицательным до взятия модуля – это нормально. Знак зависит от порядка обхода вершин (по часовой стрелке или против). Модуль всегда даёт положительную площадь.

Площадь равностороннего и прямоугольного треугольника

Для частных случаев существуют упрощённые формулы, которые ускоряют решение.

Равносторонний треугольник

Все стороны равны a, все углы – 60°:

S = (√3 / 4) × a²

Пример: сторона 6 см → S = (√3 / 4) × 36 = 9√3 ≈ 15,59 см². Ответ: ≈ 15,59 см².

Прямоугольный треугольник

Прямой угол означает, что два катета a и b – это одновременно основание и высота:

S = ½ × a × b

Пример: катеты 9 см и 12 см → S = ½ × 9 × 12 = 54 см². Ответ: 54 см².

Эту же формулу используют, когда по теореме Пифагора находят гипотенузу: для катетов 9 и 12 гипотенуза равна 15, и проверка по Герону (p = 18, S = √(18·9·6·3) = √2916 = 54) подтверждает результат.

Сводная таблица формул

Разбор задачи с полным решением

Чтобы закрепить материал, разберём задачу, где нужно выбрать подходящую формулу и найти площадь треугольника – ответ получится двумя способами.

Условие: треугольник со сторонами 7 см, 8 см и 9 см. Найти площадь.

Способ 1: формула Герона

1. p = (7 + 8 + 9) / 2 = 12
2. S = √(12 × 5 × 4 × 3) = √720
3. S = 12√5 ≈ 26,83 см²

Способ 2: основание и высота

1. Примем сторону 8 за основание. Найдём высоту через теорему косинусов:
   • cos α = (7² + 8² − 9²) / (2 × 7 × 8) = (64 + 49 − 81) / 112 = 32 / 112 = 2/7
   • sin α = √(1 − 4/49) = √(45/49) = 3√5 / 7
2. h = 7 × sin α = 7 × (3√5 / 7) = 3√5
3. S = ½ × 8 × 3√5 = 12√5 ≈ 26,83 см²

Ответ: 12√5 ≈ 26,83 см². Оба способа дают одинаковый результат.