Площадь, ограниченная окружностью

Если перед вами стоит задача найти площадь, ограниченную окружностью, нужно вычислить площадь круга – плоской фигуры, которую эта окружность замыкает. Ключевое различие: окружность – линия (у неё есть длина, но нет площади), а круг – область внутри неё.

Формула площади круга

Площадь круга S вычисляется по одной из двух базовых формул:

• По радиусу: S = π × r²
• По диаметру: S = π × d² / 4

Здесь r – радиус, d – диаметр (d = 2r), π ≈ 3,14159.

Это универсальные формулы: достаточно знать хотя бы один из параметров – радиус, диаметр или длину окружности.

Как рассчитать площадь круга по радиусу?

Самый распространённый вариант. Алгоритм:

1. Определите радиус r (расстояние от центра до любой точки окружности).
2. Возведите радиус в квадрат: r².
3. Умножьте результат на π.

Пример. Радиус круга – 7 см.

S = 3,14159 × 7² = 3,14159 × 49 = 153,94 см²

Как найти площадь по диаметру?

Если известен диаметр, а радиус вычислять не хочется, используйте формулу S = π × d² / 4.

Пример. Диаметр – 10 м.

S = 3,14159 × 10² / 4 = 3,14159 × 100 / 4 = 78,54 м²

Площадь круга по длине окружности

Иногда в условии задачи дана только длина окружности C. Тогда:

1. Найдите радиус: r = C / (2π).
2. Подставьте в основную формулу: S = π × r².

Можно объединить в одну формулу:

S = C² / (4π)

Пример. Длина окружности – 31,42 см.

S = 31,42² / (4 × 3,14159) = 987,22 / 12,57 ≈ 78,54 см²

Примеры расчёта площади

Площадь сектора и сегмента

Полный круг – частный случай. Часто нужно найти площадь его части.

Сектор

Сектор – «кусок пирога» между двумя радиусами. Площадь сектора с центральным углом α (в градусах):

S_сект = π × r² × α / 360°

Если угол задан в радианах (φ):

S_сект = r² × φ / 2

Пример. Радиус 10 см, угол сектора 90°.

S = 3,14159 × 100 × 90 / 360 = 78,54 см² (четверть круга)

Сегмент

Сегмент – область между хордой и дугой. Площадь сегмента:

Sсегм = Sсект − S_треугольника

Где S_треугольника – площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Для равнобедренного треугольника с вершиной в центре:

S_треуг = r² × sin(α) / 2

где α – центральный угол в радианах.

Частые ошибки

• Смешение длины окружности и площади круга. Длина окружности (C = 2πr) измеряется в единицах длины (м, см), площадь – в квадратных единицах (м², см²). Это разные величины.
• Использование диаметра вместо радиуса. Если в формулу S = πr² подставить диаметр, результат будет в 4 раза больше реального. Не забудьте: r = d / 2.
• Округление π до 3. При r = 100 ошибка составит: (3,14159 − 3) × 10 000 ≈ 1 416 единиц площади. Для ответа с двумя знаками после запятой используйте π ≈ 3,14 как минимум.
• Забытый квадрат радиуса. Типичная опечатка: вместо r² подставляют r. Всегда проверяйте размерность – если радиус в сантиметрах, площадь должна быть в см².