Обновлено:

Найти площадь АВС

Если в задаче нужно найти площадь АВС, речь почти всегда идёт о площади треугольника ABC. Обозначение записывают как SABC, S△ABC или просто S. Способ решения зависит от того, какие данные известны: сторона и высота, три стороны, координаты вершин, угол между сторонами, радиус окружности или периметр.

Самая частая формула:

\[ S\_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot h \]

где a – выбранное основание треугольника, h – высота, проведённая к этому основанию.

Как найти площадь АВС?

Чтобы найти площадь треугольника ABC, выберите формулу по данным задачи:

Что известноФормула
Основание и высота\(S=\frac{1}{2}ah\)
Две стороны и угол между ними\(S=\frac{1}{2}ab\sin C\)
Три стороны\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
Координаты вершин(S=\frac{1}{2}\left(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\right)
Сторона и два прилежащих угла\(S=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}\)
Полупериметр и радиус вписанной окружности\(S=pr\)
Три стороны и радиус описанной окружности\(S=\frac{abc}{4R}\)

Здесь a, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр, r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности.

Калькулятор площади треугольника ABC

Выберите набор известных данных
Исходные данные
* Результат округлён до 4 знаков после запятой.

Калькулятор выше помогает быстро найти площадь треугольника ABC по разным наборам исходных данных. Для точного результата важно выбрать формулу, которая соответствует условию: например, не смешивать высоту к стороне AB с основанием AC.

Площадь треугольника ABC по основанию и высоте

Если известна сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне, площадь находится по формуле:

\[ S=\frac{1}{2}ah \]

Обозначим сторону BC как основание a, а высоту из вершины A к стороне BC как h.

Тогда:

\[ S\_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot h_a \]

Пример

Дано:

  • BC = 12 см;
  • высота из A к BC равна 7 см.

Решение:

\[ S=\frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 7=42 \]

Ответ:

\[ S\_{ABC}=42\text{ см}^2 \]

Эта формула подходит для любого треугольника: остроугольного, прямоугольного и тупоугольного. В тупоугольном треугольнике высота может падать на продолжение стороны, но формула остаётся такой же.

Как найти площадь АВС по трём сторонам

Если известны все стороны треугольника, используют формулу Герона.

Пусть:

  • AB = c;
  • BC = a;
  • AC = b.

Сначала находят полупериметр:

\[ p=\frac{a+b+c}{2} \]

Затем площадь:

\[ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Пример

Дано:

  • AB = 13;
  • BC = 14;
  • AC = 15.

Полупериметр:

\[ p=\frac{13+14+15}{2}=21 \]

Площадь:

\[ S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} \]\[ S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} \]\[ S=\sqrt{7056}=84 \]

Ответ:

\[ S\_{ABC}=84 \]

Формула Герона удобна, когда высота неизвестна и её не требуется находить отдельно.

Площадь ABC по двум сторонам и углу между ними

Если известны две стороны и угол между ними, площадь равна половине произведения этих сторон на синус угла между ними:

\[ S=\frac{1}{2}ab\sin C \]

Например, если известны стороны AC и BC, а угол между ними – ∠C, то:

\[ S\_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BC \cdot \sin C \]

Пример

Дано:

  • AC = 10;
  • BC = 8;
  • ∠C = 30°.

Так как:

\[ \sin 30^\circ=\frac{1}{2} \]

получаем:

\[ S=\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}=20 \]

Ответ:

\[ S\_{ABC}=20 \]

Эта формула часто используется в задачах, где дана сторона, вторая сторона и угол между ними, но не дана высота.

Площадь прямоугольного треугольника ABC

Если треугольник ABC прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов.

Если прямой угол находится в вершине C, то катеты – AC и BC:

\[ S\_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BC \]

Пример

Дано:

  • AC = 6;
  • BC = 9;
  • ∠C = 90°.
\[ S=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 9=27 \]

Ответ:

\[ S\_{ABC}=27 \]

Это частный случай формулы через две стороны и угол между ними, потому что:

\[ \sin 90^\circ=1 \]

Площадь равностороннего треугольника ABC

Если треугольник ABC равносторонний, все его стороны равны:

\[ AB=BC=AC=a \]

Площадь находится по формуле:

\[ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]

Пример

Дано:

  • AB = BC = AC = 10.
\[ S=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3} \]

Приближённо:

\[ 25\sqrt{3}\approx 43{,}3 \]

Ответ:

\[ S\_{ABC}=25\sqrt{3}\approx 43{,}3 \]

Площадь равнобедренного треугольника ABC

Если треугольник ABC равнобедренный, обычно известны боковая сторона и основание. Высоту можно найти по теореме Пифагора.

Пусть:

  • AB = AC = l – боковые стороны;
  • BC = a – основание.

Высота из вершины A делит основание пополам:

\[ \frac{a}{2} \]

Тогда высота:

\[ h=\sqrt{l^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Площадь:

\[ S=\frac{1}{2}ah \]

или сразу:

\[ S=\frac{a}{4}\sqrt{4l^2-a^2} \]

Пример

Дано:

  • AB = AC = 5;
  • BC = 6.

Высота:

\[ h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4 \]

Площадь:

\[ S=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 4=12 \]

Ответ:

\[ S\_{ABC}=12 \]

Как найти площадь ABC по координатам вершин

Если вершины треугольника заданы координатами:

\[ A(x_1;y_1),\quad B(x_2;y_2),\quad C(x_3;y_3) \]

площадь можно найти через определитель:

\[ S=\frac{1}{2}\left|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\right| \]

Модуль нужен потому, что знак выражения зависит от порядка обхода точек.

Пример

Дано:

\[ A(1;2),\quad B(5;2),\quad C(3;6) \]

Подставим координаты:

\[ S=\frac{1}{2}\left|(5-1)(6-2)-(3-1)(2-2)\right| \]\[ S=\frac{1}{2}\left|4\cdot 4-2\cdot 0\right| \]\[ S=\frac{1}{2}\cdot 16=8 \]

Ответ:

\[ S\_{ABC}=8 \]

Эта формула особенно удобна в аналитической геометрии, когда стороны и высоты заранее неизвестны.

Площадь треугольника через векторы

Координатную формулу можно записать через векторы. Если взять два вектора с общим началом в точке A:

\[ \vec{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A) \]\[ \vec{AC}=(x_C-x_A;\ y_C-y_A) \]

то площадь треугольника равна половине модуля псевдоскалярного произведения этих векторов:

\[ S*{ABC}=\frac{1}{2}\left|x*{AB}y*{AC}-y*{AB}x\_{AC}\right| \]

Формула совпадает с координатной, но удобнее, если задача уже дана в векторной форме.

Площадь ABC через радиус вписанной окружности

Если известен радиус вписанной окружности r и полупериметр p, площадь равна:

\[ S=pr \]

Полупериметр – это половина суммы всех сторон:

\[ p=\frac{a+b+c}{2} \]

Пример

Дано:

  • стороны треугольника: 8, 10, 12;
  • радиус вписанной окружности: r = 3.

Полупериметр:

\[ p=\frac{8+10+12}{2}=15 \]

Площадь:

\[ S=15\cdot 3=45 \]

Ответ:

\[ S\_{ABC}=45 \]

Площадь через радиус описанной окружности

Если известны три стороны треугольника и радиус описанной окружности R, используют формулу:

\[ S=\frac{abc}{4R} \]

где a, b, c – стороны треугольника.

Пример

Дано:

  • a = 6;
  • b = 8;
  • c = 10;
  • R = 5.
\[ S=\frac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 5} \]\[ S=\frac{480}{20}=24 \]

Ответ:

\[ S\_{ABC}=24 \]

Площадь по стороне и двум углам

Если известна одна сторона и два угла, сначала можно найти третий угол:

\[ A+B+C=180^\circ \]

Затем площадь выражается через сторону и синусы углов. Если известна сторона a = BC, то:

\[ S=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A} \]

Эта формула получается из теоремы синусов и формулы площади через две стороны и угол между ними.

Пример

Дано:

  • BC = 10;
  • ∠B = 45°;
  • ∠C = 60°.

Сначала найдём угол A:

\[ A=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ \]

Площадь:

\[ S=\frac{10^2\sin45^\circ\sin60^\circ}{2\sin75^\circ} \]

Дальше значение можно оставить в таком виде или посчитать приближённо на калькуляторе.

Как выбрать нужную формулу

Ориентируйтесь не на название треугольника, а на данные в условии.

Дано в задачеЧто использовать
Сторона и высота\(S=\frac{1}{2}ah\)
Два катета прямоугольного треугольника\(S=\frac{1}{2}ab\)
Три стороныФормула Герона
Две стороны и угол между ними\(S=\frac{1}{2}ab\sin C\)
Координаты A, B, CКоординатная формула
Равносторонний треугольник\(S=\frac{a^2\sqrt3}{4}\)
Равнобедренный треугольник с основанием и боковой сторонойЧерез высоту по Пифагору
Радиус вписанной окружности и периметр\(S=pr\)
Радиус описанной окружности и стороны\(S=\frac{abc}{4R}\)

Если в условии дана высота, почти всегда проще использовать формулу 1/2 · основание · высота. Если высоты нет, но известны три стороны, быстрее применить формулу Герона.

Типичные ошибки при нахождении площади ABC

Чаще всего ошибки возникают не из-за сложной формулы, а из-за неправильного выбора данных.

Проверьте:

  1. Высота должна быть проведена к выбранному основанию.
    Если основание BC, нужна высота из вершины A.

  2. Угол должен быть между выбранными сторонами.
    В формуле \(S=\frac{1}{2}ab\sin C\) угол C расположен между сторонами AC и BC.

  3. В координатной формуле нужен модуль.
    Без модуля результат может получиться отрицательным.

  4. Единицы измерения должны совпадать.
    Если одна сторона дана в сантиметрах, а другая в метрах, сначала приведите их к одной единице.

  5. Площадь измеряется в квадратных единицах.
    Если стороны даны в сантиметрах, ответ будет в см²; если в метрах – в м².

Короткий алгоритм решения

Чтобы найти площадь АВС без лишних действий:

  1. Запишите, что дано: стороны, высота, углы, координаты или радиусы.
  2. Определите тип задачи: обычный, прямоугольный, равнобедренный, равносторонний или координатный треугольник.
  3. Выберите формулу из таблицы.
  4. Подставьте значения.
  5. Проверьте единицы измерения и знак результата.

В большинстве школьных задач достаточно 3 формул: через основание и высоту, через две стороны и угол между ними, по трём сторонам через формулу Герона.

Часто задаваемые вопросы

Что означает запись SABC?

Запись SABC обычно означает площадь треугольника ABC, где A, B и C – его вершины. В школьных задачах также встречается запись S△ABC. Это одна и та же величина: площадь фигуры, ограниченной сторонами AB, BC и AC.

Какая формула площади треугольника самая простая?

Самая простая формула – половина произведения основания на высоту: S = 1/2 · a · h. Она удобна, если в задаче дана сторона треугольника и перпендикуляр, опущенный на эту сторону или её продолжение.

Как найти площадь ABC, если известны только стороны?

Если известны три стороны AB, BC и AC, используйте формулу Герона. Сначала найдите полупериметр p = (a + b + c) / 2, затем подставьте стороны в формулу S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).

Можно ли найти площадь треугольника по двум сторонам?

По двум сторонам площадь найти нельзя, если не известен угол между ними или дополнительное условие. При одинаковых двух сторонах треугольник может иметь разную форму, поэтому площадь будет меняться. Нужен угол, высота, третья сторона или другое связанное значение.

Как найти площадь ABC по координатам точек?

Если известны координаты A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), площадь находится через определитель: S = 1/2 · |(x2 − x1)(y3 − y1) − (x3 − x1)(y2 − y1)|. Формула работает для любых трёх точек на плоскости.

Что делать, если площадь получилась отрицательной?

Площадь не может быть отрицательной. В координатной формуле знак зависит от порядка обхода вершин: по часовой стрелке или против неё. Поэтому в конце берут модуль выражения, то есть положительное значение.

  1. Как вычислить радиус описанной окружности: формулы и примеры
  2. Как посчитать квадрат числа: формулы и примеры
  3. Биссектриса треугольника считать – формулы и калькулятор 2026
  4. Площадь овала калькулятор онлайн
  5. Калькулятор площади треугольника в м² – онлайн расчёт
  6. Калькулятор площади усеченного конуса – онлайн расчет