Обновлено:

Как найти первый член геометрической прогрессии

В школьных задачах и на экзаменах часто даётся любой член геометрической прогрессии, её знаменатель или сумма, а найти требуется именно первый – b₁. Способ расчёта зависит только от того, какие данные известны.

Формула n-го члена: выражаем b₁

Основное соотношение геометрической прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

где $b_n$ – n-й член, $q$ – знаменатель.

Выразив $b_1$, получаем универсальную формулу:

$$b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$$

Условие: $q \neq 0$. Если $q = 0$, прогрессия вырождается (все члены, кроме первого, равны нулю), и задача решается отдельно.

Как найти первый член через сумму прогрессии?

Для конечной прогрессии из n членов при $q \neq 1$:

$$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$

Отсюда:

$$b_1 = S_n \cdot \frac{q - 1}{q^n - 1}$$

Если $q = 1$, все члены равны между собой. Тогда $S_n = n \cdot b_1$, и:

$$b_1 = \frac{S_n}{n}$$

Для бесконечно убывающей прогрессии, где $|q| < 1$:

$$S = \frac{b_1}{1 - q}$$

Следовательно:

$$b_1 = S \cdot (1 - q)$$

Если известны два произвольных члена

Пусть даны $b_m$ и $b_n$ при $m < n$. Сначала находят знаменатель:

$$b_n = b_m \cdot q^{n-m}$$$$q = \sqrt[n-m]{\frac{b_n}{b_m}}$$

Затем первый член вычисляют через любой из известных:

$$b_1 = \frac{b_m}{q^{m-1}}$$

Если степень корня нечётная, формула работает и для отрицательных $q$.

Пример расчёта

Условие. В геометрической прогрессии $b_5 = 48$, $q = 2$. Найти $b_1$.

$$b_5 = b_1 \cdot 2^{5-1} = b_1 \cdot 16$$$$48 = 16 \cdot b_1$$$$b_1 = 3$$

Проверка через сумму. Пусть $S_3 = 26$ при $q = 3$.

$$b_1 = 26 \cdot \frac{3 - 1}{3^3 - 1} = 26 \cdot \frac{2}{26} = 2$$

Частые ошибки и уточнения

  • Путают показатель степени: если известен $b_n$, делят на $q^{n-1}$, а не на $q^n$.
  • Забывают случай $q = 1$ при работе с суммой – здесь знаменатель дроби обращается в ноль.
  • При расчёте корня из отношения двух членов ошибаются в степени корня: она равна разности номеров, а не самим номерам.

Часто задаваемые вопросы

Что такое первый член геометрической прогрессии?

Это начальное число последовательности, обозначаемое b₁. Все остальные члены получаются умножением b₁ на знаменатель q в нужной степени.

Как найти первый член через сумму прогрессии?

Если известна сумма n членов и знаменатель q ≠ 1, используйте формулу b₁ = Sₙ(q − 1)/(qⁿ − 1). При q = 1 прогрессия постоянна, и b₁ = Sₙ / n.

Можно ли найти b₁, если даны только b₅ и b₈?

Да. Сначала находят q = ⁿ⁻ᵐ√(bₙ / bₘ), затем b₁ = bₘ / qᵐ⁻¹. Для b₅ и b₈ это q = ³√(b₈ / b₅), а b₁ = b₅ / q⁴.

Как находится первый член у бесконечно убывающей прогрессии?

При |q| < 1 и известной сумме S используйте формулу b₁ = S(1 − q). Например, если S = 100 и q = 0,25, то b₁ = 75.

Что делать, если знаменатель q отрицательный?

Все формулы остаются верными. Знак минуса будет чередоваться у членов прогрессии, но алгебраический порядок вычисления b₁ не меняется.

  1. Как найти уравнение прямой, проходящей через две точки
  2. Общий знаменатель 12 и 28: как найти и привести дроби
  3. Как найти сумму n первых членов геометрической прогрессии: формулы
  4. Степень дроби онлайн – калькулятор с решением
  5. Как найти AB в прямоугольном треугольнике: формулы и примеры
  6. Как найти значение x в третьей степени (x³)