Как найти наибольшую площадь фигуры

Задачи на наибольшую площадь сводятся к одной схеме: выразить площадь через одну переменную, найти её максимум на допустимом промежутке и проверить границы. Метод работает для прямоугольника с заданным периметром, треугольника, вписанной фигуры и любых других конфигураций.

Как найти наибольшую площадь: алгоритм

Пять шагов, которые подходят почти для любой задачи на максимум площади:

1. Введите переменную. Обозначьте через x ту величину, от которой зависит ответ (сторона, высота, угол).
2. Запишите связь. Используйте условие задачи (периметр, диагональ, длина забора), чтобы выразить остальные размеры через x.
3. Составьте функцию площади S(x). Подставьте выражения в формулу площади.
4. Найдите область определения. Все длины должны быть положительными – это даёт промежуток для x.
5. Найдите максимум. Возьмите производную, приравняйте к нулю, проверьте знак второй производной или сравните значения на концах.

Ответ – пара (x, S(x)), где S(x) максимально на найденном промежутке.

Метод производной

Базовый инструмент. Если S(x) дифференцируема на промежутке (a, b), то максимум достигается либо в точке, где S′(x) = 0, либо на границе.

Пример. Из проволоки длиной 40 см согнули прямоугольник. Найти наибольшую площадь.

Полупериметр равен 20, значит стороны – x и 20 − x.

S(x) = x · (20 − x) = 20x − x², где x ∈ (0; 20).

S′(x) = 20 − 2x. Из S′(x) = 0 получаем x = 10.

S″(x) = −2 < 0, точка – максимум. S(10) = 100 см².

Прямоугольник оказался квадратом со стороной 10 см. Это общий результат: среди прямоугольников заданного периметра максимальную площадь имеет квадрат.

Метод через неравенство о средних

Для симметричных задач быстрее работает неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

(a + b)/2 ≥ √(ab), равенство при a = b.

Если a + b = const (заданный полупериметр), то ab = S максимально при a = b. Производная не нужна.

Аналог для трёх слагаемых: при a + b + c = const максимум abc достигается при a = b = c. Это пригодится в задачах на объём параллелепипеда или площадь треугольника через формулу Герона.

Типовые задачи и ответы

Задача про забор у стены

Классический сюжет. Есть L метров сетки, нужно огородить прямоугольный участок у стены – забор идёт только с трёх сторон.

Пусть стороны, перпендикулярные стене, равны x, тогда параллельная – L − 2x.

S(x) = x · (L − 2x) = Lx − 2x², где x ∈ (0; L/2).

S′(x) = L − 4x = 0 → x = L/4.

Параллельная стороне стены равна L/2 – вдвое больше перпендикулярной. Максимальная площадь:

S_max = L²/8.

При L = 40 м получится 200 м² – на 100 м² больше, чем у квадрата с тем же периметром забора.

Вписанные фигуры

Когда фигура вписана в другую, удобно перейти к угловой переменной.

Прямоугольник в полукруге радиуса R. Если основание лежит на диаметре, а верхние вершины – на окружности, обозначьте угол φ от центра до верхней вершины. Тогда полуоснование = R·cos φ, высота = R·sin φ.

S(φ) = 2R² · sin φ · cos φ = R² · sin 2φ.

Максимум sin 2φ равен 1 при φ = 45°. Получается S_max = R², стороны прямоугольника – R√2 и R/√2.

Частые ошибки

• Забыли про границы. Иногда максимум достигается не в критической точке, а на конце отрезка. Всегда сравнивайте S(a), S(b) и S в точках, где S′ = 0.
• Не проверили знак производной. Точка S′(x) = 0 может быть и минимумом, и точкой перегиба.
• Подставили не ту связь. Если периметр задан, выражайте через него, а не через площадь – иначе получится круговое уравнение.
• Игнорируют ОДЗ. Длины и углы должны быть положительны; часто промежуток для x уже, чем кажется.
• Считают, что максимум всегда у симметричной фигуры. Это верно для свободных задач, но при дополнительных ограничениях (часть периметра – стена, угол фиксирован) оптимум смещается.

Когда обычной производной мало

Если переменных две или больше и связь между ними нелинейная, используют:

• Метод множителей Лагранжа – для условного экстремума.
• Параметризацию – заменить координаты на угол или другой параметр, сведя задачу к одной переменной.
• Геометрические соображения – симметрия, изопериметрические неравенства, подобие.

Для школьных и стандартных вузовских задач почти всегда хватает шагов 1–5 из первого раздела.

Bash