Обновлено:
Найти f 2 x
Если в задании просят найти f 2 x, обычно имеется в виду выражение f(2x): нужно взять формулу функции f(x) и заменить в ней каждый аргумент x на 2x. Например, если \(f(x)=x^2-3x+5\), то \(f(2x)=(2x)^2-3(2x)+5=4x^2-6x+5\).
Что значит найти f 2 x?
Запись \(f(2x)\) читается как «эф от двух икс» или «значение функции f при аргументе 2x».
Если дана функция:
\[ f(x)=\text{некоторая формула с }x \]то выражение \(f(2x)\) получают заменой:
\[ x \rightarrow 2x \]То есть:
\[ f(2x)=\text{та же формула, но вместо каждого }x\text{ стоит }2x \]Короткое правило:
Чтобы найти \(f(2x)\), подставьте \(2x\) вместо каждого \(x\) в формуле функции и упростите выражение.
Калькулятор выше подходит для типовых школьных и базовых вузовских заданий: он подставляет \(2x\) вместо переменной \(x\), раскрывает скобки там, где это возможно, и упрощает полученное выражение. Логика такая же, как при ручном решении: исходная функция не умножается на 2, меняется только её аргумент.
Как найти f(2x) по формуле
Алгоритм состоит из 3 шагов:
- Запишите исходную функцию \(f(x)\).
- В каждом месте, где стоит \(x\), поставьте \((2x)\).
- Упростите выражение: раскройте скобки, возведите в степень, приведите подобные слагаемые.
Пример:
\[ f(x)=5x-7 \]Подставляем \(2x\):
\[ f(2x)=5(2x)-7 \]Упрощаем:
\[ f(2x)=10x-7 \]Ответ:
\[ \boxed{f(2x)=10x-7} \]Примеры: как найти f(2x)
Линейная функция
Дано:
\[ f(x)=3x+4 \]Найти \(f(2x)\).
Решение:
\[ f(2x)=3(2x)+4 \]\[ f(2x)=6x+4 \]Ответ:
\[ \boxed{6x+4} \]Квадратичная функция
Дано:
\[ f(x)=x^2-5x+6 \]Подставляем \(2x\) вместо \(x\):
\[ f(2x)=(2x)^2-5(2x)+6 \]\[ f(2x)=4x^2-10x+6 \]Ответ:
\[ \boxed{4x^2-10x+6} \]Главная ошибка здесь – записать \(2x^2\) вместо \((2x)^2\). На самом деле:
\[ (2x)^2=4x^2 \]Кубическая функция
Дано:
\[ f(x)=x^3+2x^2-x+1 \]Тогда:
\[ f(2x)=(2x)^3+2(2x)^2-(2x)+1 \]\[ f(2x)=8x^3+2\cdot4x^2-2x+1 \]\[ f(2x)=8x^3+8x^2-2x+1 \]Ответ:
\[ \boxed{8x^3+8x^2-2x+1} \]Дробно-рациональная функция
Дано:
\[ f(x)=\frac{x+3}{x-1} \]Заменяем \(x\) на \(2x\):
\[ f(2x)=\frac{2x+3}{2x-1} \]Ответ:
\[ \boxed{\frac{2x+3}{2x-1}} \]Здесь дополнительно можно указать область допустимых значений:
\[ 2x-1\ne0 \]\[ x\ne\frac{1}{2} \]Функция с корнем
Дано:
\[ f(x)=\sqrt{x+4} \]Тогда:
\[ f(2x)=\sqrt{2x+4} \]Ответ:
\[ \boxed{\sqrt{2x+4}} \]Для действительных значений нужно учитывать условие:
\[ 2x+4\ge0 \]\[ x\ge-2 \]Функция с модулем
Дано:
\[ f(x)=|x-5| \]Тогда:
\[ f(2x)=|2x-5| \]Ответ:
\[ \boxed{|2x-5|} \]Модуль не раскрывают без дополнительного условия на \(x\), потому что знак выражения \(2x-5\) зависит от значения переменной.
Найти f(2x) по таблице значений
Иногда функция задана не формулой, а таблицей.
Например:
| x | -2 | 0 | 1 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 9 | 5 | 3 | 1 | -2 | -4 |
Нужно найти \(f(2x)\) при \(x=2\).
Сначала находим аргумент функции:
\[ 2x=2\cdot2=4 \]Значит:
\[ f(2x)=f(4) \]По таблице:
\[ f(4)=-2 \]Ответ:
\[ \boxed{-2} \]Если нужно найти \(f(2x)\) при \(x=3\), то:
\[ 2x=6 \]\[ f(2x)=f(6)=-4 \]Если в таблице нет нужного значения аргумента, точный ответ по таблице найти нельзя.
Найти f(2x) по графику
Если функция задана графиком \(y=f(x)\), то для нахождения конкретного значения \(f(2x)\) действуют так:
- Вычисляют число \(2x\).
- На оси Ox находят точку с абсциссой \(2x\).
- По графику определяют соответствующее значение \(y\).
Пример: нужно найти \(f(2x)\) при \(x=1{,}5\).
\[ 2x=2\cdot1{,}5=3 \]Значит, нужно найти на графике значение:
\[ f(3) \]Если по графику при \(x=3\) значение \(y=7\), то:
\[ f(2x)=7 \]Чем f(2x) отличается от 2f(x)?
Это разные выражения.
| Запись | Что означает | Что меняется |
|---|---|---|
| \(f(2x)\) | функция от аргумента \(2x\) | входное значение |
| \(2f(x)\) | удвоенное значение функции | результат функции |
Возьмём функцию:
\[ f(x)=x^2+3 \]Найдём \(f(2x)\):
\[ f(2x)=(2x)^2+3=4x^2+3 \]Теперь найдём \(2f(x)\):
\[ 2f(x)=2(x^2+3)=2x^2+6 \]Получились разные выражения:
\[ 4x^2+3\ne2x^2+6 \]Поэтому нельзя заменять \(f(2x)\) на \(2f(x)\), если это специально не следует из условия задачи.
Как меняется график y = f(2x)
Выражение \(y=f(2x)\) связано не только с подстановкой, но и с преобразованием графика.
График \(y=f(2x)\) получается из графика \(y=f(x)\) сжатием по горизонтали в 2 раза к оси Oy.
Если точка \((a; b)\) лежит на графике \(y=f(x)\), то на графике \(y=f(2x)\) будет точка:
\[ \left(\frac{a}{2}; b\right) \]Пример:
если у функции \(f(x)\):
\[ f(4)=10 \]то у функции \(f(2x)\) значение 10 получится при:
\[ 2x=4 \]\[ x=2 \]Значит, точка \((4; 10)\) переходит в точку \((2; 10)\).
Если дана сложная функция
Иногда в условии функция уже содержит выражение в скобках: \(f(x+1)\), \(f(3x)\), \(f(x-2)\). Тогда нужно аккуратно понять, что именно известно.
Пример 1: дана f(x), найти f(2x)
Дано:
\[ f(x)=2x^2-1 \]Тогда всё просто:
\[ f(2x)=2(2x)^2-1=8x^2-1 \]Ответ:
\[ \boxed{8x^2-1} \]Пример 2: дана f(x+1), найти f(2x)
Дано:
\[ f(x+1)=x^2+4 \]Найти \(f(2x)\).
Сначала выразим обычную функцию \(f(t)\). Пусть:
\[ t=x+1 \]Тогда:
\[ x=t-1 \]Подставляем:
\[ f(t)=(t-1)^2+4 \]Теперь вместо \(t\) ставим \(2x\):
\[ f(2x)=(2x-1)^2+4 \]Раскрываем скобки:
\[ f(2x)=4x^2-4x+1+4 \]\[ f(2x)=4x^2-4x+5 \]Ответ:
\[ \boxed{4x^2-4x+5} \]Пример 3: дана f(2x), найти f(x)
Бывает и обратная задача.
Дано:
\[ f(2x)=6x+1 \]Найти \(f(x)\).
Обозначим:
\[ t=2x \]Тогда:
\[ x=\frac{t}{2} \]Подставляем в правую часть:
\[ f(t)=6\cdot\frac{t}{2}+1 \]\[ f(t)=3t+1 \]Значит:
\[ f(x)=3x+1 \]Ответ:
\[ \boxed{f(x)=3x+1} \]Типичные ошибки при нахождении f(2x)
Чаще всего ошибки появляются из-за невнимательной подстановки.
Заменили не все x
Неверно:
\[ f(x)=x^2+x+1 \]\[ f(2x)=(2x)^2+x+1 \]Правильно:
\[ f(2x)=(2x)^2+(2x)+1 \]\[ f(2x)=4x^2+2x+1 \]Забыли скобки
Неверно:
\[ f(x)=x^2 \]\[ f(2x)=2x^2 \]Правильно:
\[ f(2x)=(2x)^2=4x^2 \]Перепутали f(2x) и 2f(x)
Неверно:
\[ f(2x)=2f(x) \]Правильно в общем случае:
\[ f(2x)\ne2f(x) \]Их можно сравнивать только после отдельного вычисления.
Не учли область определения
Если функция содержит знаменатель, корень чётной степени или логарифм, после подстановки \(2x\) нужно проверить допустимые значения.
Пример:
\[ f(x)=\frac{1}{x+4} \]Тогда:
\[ f(2x)=\frac{1}{2x+4} \]Знаменатель не должен быть равен нулю:
\[ 2x+4\ne0 \]\[ x\ne-2 \]Краткая схема решения
Если нужно быстро найти \(f(2x)\), используйте такую схему:
\[ f(x)=\text{формула} \]\[ f(2x)=\text{та же формула, где }x\text{ заменён на }2x \]\[ \text{упростить} \]Пример в одну строку:
\[ f(x)=7x^2-3x+8 \]\[ f(2x)=7(2x)^2-3(2x)+8=28x^2-6x+8 \]Ответ:
\[ \boxed{28x^2-6x+8} \]Часто задаваемые вопросы
Чем отличается f(2x) от 2f(x)?
f(2x) означает, что в формулу функции вместо x подставляют 2x. А 2f(x) означает, что сначала находят f(x), а затем умножают результат на 2. Например, если f(x)=x²+1, то f(2x)=4x²+1, а 2f(x)=2x²+2.
Можно ли найти f(2x), если функция задана только таблицей?
Да, но только для тех значений 2x, которые есть в таблице аргументов. Например, чтобы найти f(2·3), нужно значение f(6). Если строки с аргументом 6 нет, точный ответ по таблице получить нельзя без дополнительного правила или графика.
Что делать, если в формуле функции несколько x?
Заменять нужно каждое вхождение x. Если f(x)=3x²−5x+4, то f(2x)=3(2x)²−5(2x)+4=12x²−10x+4. Ошибка возникает, когда заменяют только один x и оставляют остальные без изменения.
Как f(2x) выглядит на графике?
График y=f(2x) получается из графика y=f(x) горизонтальным сжатием в 2 раза к оси Oy. Каждая точка с абсциссой a у исходной функции переходит в точку с абсциссой a/2 у новой функции, значение y сохраняется.
Можно ли найти f(2x), если дана f(x+1)?
Можно, если сначала выразить нужную функцию через подходящую замену. Например, если f(x+1)=x², положим t=x+1, тогда x=t−1 и f(t)=(t−1)². После этого f(2x)=(2x−1)².
Почему нельзя просто умножить всю функцию на 2?
Потому что 2x находится внутри скобок f( ), то есть меняется аргумент функции, а не её значение. Умножение результата на 2 записывается иначе: 2f(x). Эти выражения совпадают только в отдельных частных случаях, но не в общем виде.
Похожие калькуляторы и статьи
- Калькулятор графиков функций онлайн
- Посчитать значение функции: онлайн-калькулятор и способы расчета
- Вычислить квадратный корень: онлайн-калькулятор и методы
- Вычисление расстояния между двумя точками на плоскости
- Как вычислить значение функции f(x): пошаговое руководство
- Вычисление степеней: онлайн-калькулятор и основные формулы