МатематикаГеометрия

Найти диаметр окружности треугольника

Узнайте, как найти диаметр окружности треугольника: формулы для описанной и вписанной, примеры расчета и бесплатный онлайн-калькулятор.

Режим расчёта
Стороны треугольника
Все стороны должны быть положительными, сумма любых двух должна превышать третью
Справочная таблица формул

Диаметр описанной окружности (D = 2R)

Данные Формула
Три стороны D = abc / (2S)
Сторона + угол D = a / sin A
Равносторонний D = 2a / √3
Прямоугольный D = гипотенуза

Диаметр вписанной окружности (d = 2r)

Данные Формула
Три стороны d = 2S / p
Равносторонний d = a / √3
Прямоугольный d = a + b − c

S – площадь, p – полупериметр, R – радиус описанной, r – радиус вписанной окружности

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (297) →

У каждого треугольника есть две связанные с ним окружности: описанная (проходит через вершины) и вписанная (касается сторон изнутри). Найти диаметр окружности треугольника – значит вычислить D = 2R для описанной или d = 2r для вписанной. Ниже – все рабочие формулы и разбор на примерах.

Формулы диаметра описанной окружности

Описанная окружность – единственная окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Её центр (точка O) равноудалён от вершин.

Через стороны и площадь

D=2R=a⋅b⋅c2SD = 2R = \frac{a \cdot b \cdot c}{2S}

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Площадь находится по формуле Герона:

S=p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+c2S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \quad p = \frac{a + b + c}{2}

Через сторону и противолежащий угол (теорема синусов)

D=2R=asin⁡AD = 2R = \frac{a}{\sin A}

Здесь a – любая сторона, A – угол напротив неё. Это самый короткий путь, если угол известен.

Для равностороннего треугольника

D=2a3=2a33D = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}

где a – сторона.

Для прямоугольного треугольника

D=cD = c

Диаметр описанной окружности равен гипотенузе c. Центр окружности лежит в середине гипотенузы.

Как найти диаметр вписанной окружности?

Вписанная окружность касается каждой стороны треугольника изнутри. Её центр – точка пересечения биссектрис.

Основная формула

d=2r=2Spd = 2r = \frac{2S}{p}

где S – площадь, p – полупериметр.

Для равностороннего треугольника

d=a3=a33d = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}

Для прямоугольного треугольника

d=2r=a+b−cd = 2r = a + b - c

где a, b – катеты, c – гипотенуза. Формула следует из того, что p = (a + b + c)/2, а S = ab/2.

Пример: треугольник со сторонами 7, 8 и 9

Дано: a = 7, b = 8, c = 9.

Шаг 1. Полупериметр:

p=7+8+92=12p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12

Шаг 2. Площадь по Герону:

S=12⋅5⋅4⋅3=720=125≈26,83S = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \approx 26{,}83

Шаг 3. Диаметр описанной окружности:

D=7⋅8⋅92⋅125=504245=215≈9,39D = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9}{2 \cdot 12\sqrt{5}} = \frac{504}{24\sqrt{5}} = \frac{21}{\sqrt{5}} \approx 9{,}39

Шаг 4. Диаметр вписанной окружности:

d=2⋅12512=25≈4,47d = \frac{2 \cdot 12\sqrt{5}}{12} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47

Пример: прямоугольный треугольник 3, 4, 5

ПараметрФормулаЗначение
Полупериметр(3 + 4 + 5) / 26
Площадь3 · 4 / 26
Диаметр описаннойгипотенуза = 55
Диаметр вписанной3 + 4 − 52

Проверка через основную формулу: d = 2S/p = 12/6 = 2 – совпадает.

Когда какую формулу выбрать?

Известные данныеОписанная (D)Вписанная (d)
Три стороныD = abc / (2S), S по Геронуd = 2S / p
Сторона + противолежащий уголD = a / sin A–
Два катета и гипотенузаD = cd = a + b − c
Площадь + полупериметрD = abc / (2S)d = 2S / p

Формула через теорему синусов D = a / sin A – самая компактная, но требует знания угла. Если даны только стороны, путь через формулу Герона универсален.

Связь между радиусами вписанной и описанной окружностей

Формула Эйлера связывает расстояние d₀ между центрами двух окружностей:

d02=R2−2Rrd_0^2 = R^2 - 2Rr

Из неё следует неравенство Эйлера: R ≥ 2r, причём равенство достигается только у равностороннего треугольника.

Для равностороннего треугольника со стороной a:

  • R = a√3 / 3
  • r = a√3 / 6
  • D / d = R / r = 2

Это полезная проверка: если в задаче получилось R < 2r, где-то допущена ошибка.

Частые ошибки при расчёте

  • Путаница радиуса и диаметра. Формулы в учебниках обычно дают R и r. Не забудьте умножить на 2, если в задаче спрашивают диаметр.
  • Неправильный полупериметр. Сумму сторон нужно делить на 2, а не на 3.
  • Подстановка угла в градусах в калькулятор, настроенный на радианы. При использовании формулы D = a / sin A убедитесь в единицах измерения.
  • Применение формулы D = c к непрямоугольному треугольнику. Диаметр описанной окружности равен гипотенузе только при угле 90°.

Часто задаваемые вопросы

Чем описанная окружность отличается от вписанной?
Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника, а вписанная касается всех трёх сторон изнутри. Центр описанной окружности – пересечение серединных перпендикуляров, центр вписанной – пересечение биссектрис.
Можно ли найти диаметр окружности, зная только две стороны треугольника?
Нет. Нужны либо все три стороны, либо две стороны и угол между ними (или напротив одной из них). Без этих данных треугольник определён неоднозначно, и диаметр рассчитать нельзя.
Как найти диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника?
Диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника равен гипотенузе. Это следствие теоремы Фалеса: прямой угол опирается на диаметр. Формула: D = c, где c – гипотенуза.
Существует ли треугольник, у которого вписанная и описанная окружности совпадают?
Нет. Описанная окружность всегда больше вписанной. Даже у равностороннего треугольника, где разница минимальна, радиус описанной окружности ровно вдвое больше радиуса вписанной: R = 2r.
Как связан диаметр описанной окружности с теоремой синусов?
Теорема синусов утверждает: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, где R – радиус описанной окружности. Отсюда диаметр D = 2R = a/sin A. Достаточно знать одну сторону и противолежащий угол.
Меняется ли формула вписанной окружности для тупоугольного треугольника?
Нет. Формула r = S/p работает для любого треугольника – остроугольного, прямоугольного и тупоугольного. Вписанная окружность существует у каждого треугольника без исключений.