Обновлено:
Найти диаметр окружности треугольника
У каждого треугольника есть две связанные с ним окружности: описанная (проходит через вершины) и вписанная (касается сторон изнутри). Найти диаметр окружности треугольника – значит вычислить D = 2R для описанной или d = 2r для вписанной. Ниже – все рабочие формулы и разбор на примерах.
Справочная таблица формул
Диаметр описанной окружности (D = 2R)
| Данные | Формула |
|---|---|
| Три стороны | D = abc / (2S) |
| Сторона + угол | D = a / sin A |
| Равносторонний | D = 2a / √3 |
| Прямоугольный | D = гипотенуза |
Диаметр вписанной окружности (d = 2r)
| Данные | Формула |
|---|---|
| Три стороны | d = 2S / p |
| Равносторонний | d = a / √3 |
| Прямоугольный | d = a + b − c |
S – площадь, p – полупериметр, R – радиус описанной, r – радиус вписанной окружности
Формулы диаметра описанной окружности
Описанная окружность – единственная окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Её центр (точка O) равноудалён от вершин.
Через стороны и площадь
$$D = 2R = \frac{a \cdot b \cdot c}{2S}$$где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Площадь находится по формуле Герона:
$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \quad p = \frac{a + b + c}{2}$$Через сторону и противолежащий угол (теорема синусов)
$$D = 2R = \frac{a}{\sin A}$$Здесь a – любая сторона, A – угол напротив неё. Это самый короткий путь, если угол известен.
Для равностороннего треугольника
$$D = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$$где a – сторона.
Для прямоугольного треугольника
$$D = c$$Диаметр описанной окружности равен гипотенузе c. Центр окружности лежит в середине гипотенузы.
Как найти диаметр вписанной окружности?
Вписанная окружность касается каждой стороны треугольника изнутри. Её центр – точка пересечения биссектрис.
Основная формула
$$d = 2r = \frac{2S}{p}$$где S – площадь, p – полупериметр.
Для равностороннего треугольника
$$d = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$Для прямоугольного треугольника
$$d = 2r = a + b - c$$где a, b – катеты, c – гипотенуза. Формула следует из того, что p = (a + b + c)/2, а S = ab/2.
Пример: треугольник со сторонами 7, 8 и 9
Дано: a = 7, b = 8, c = 9.
Шаг 1. Полупериметр:
$$p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12$$Шаг 2. Площадь по Герону:
$$S = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \approx 26{,}83$$Шаг 3. Диаметр описанной окружности:
$$D = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9}{2 \cdot 12\sqrt{5}} = \frac{504}{24\sqrt{5}} = \frac{21}{\sqrt{5}} \approx 9{,}39$$Шаг 4. Диаметр вписанной окружности:
$$d = \frac{2 \cdot 12\sqrt{5}}{12} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$$Пример: прямоугольный треугольник 3, 4, 5
| Параметр | Формула | Значение |
|---|---|---|
| Полупериметр | (3 + 4 + 5) / 2 | 6 |
| Площадь | 3 · 4 / 2 | 6 |
| Диаметр описанной | гипотенуза = 5 | 5 |
| Диаметр вписанной | 3 + 4 − 5 | 2 |
Проверка через основную формулу: d = 2S/p = 12/6 = 2 – совпадает.
Когда какую формулу выбрать?
| Известные данные | Описанная (D) | Вписанная (d) |
|---|---|---|
| Три стороны | D = abc / (2S), S по Герону | d = 2S / p |
| Сторона + противолежащий угол | D = a / sin A | – |
| Два катета и гипотенуза | D = c | d = a + b − c |
| Площадь + полупериметр | D = abc / (2S) | d = 2S / p |
Формула через теорему синусов D = a / sin A – самая компактная, но требует знания угла. Если даны только стороны, путь через формулу Герона универсален.
Связь между радиусами вписанной и описанной окружностей
Формула Эйлера связывает расстояние d₀ между центрами двух окружностей:
$$d_0^2 = R^2 - 2Rr$$Из неё следует неравенство Эйлера: R ≥ 2r, причём равенство достигается только у равностороннего треугольника.
Для равностороннего треугольника со стороной a:
- R = a√3 / 3
- r = a√3 / 6
- D / d = R / r = 2
Это полезная проверка: если в задаче получилось R < 2r, где-то допущена ошибка.
Частые ошибки при расчёте
- Путаница радиуса и диаметра. Формулы в учебниках обычно дают R и r. Не забудьте умножить на 2, если в задаче спрашивают диаметр.
- Неправильный полупериметр. Сумму сторон нужно делить на 2, а не на 3.
- Подстановка угла в градусах в калькулятор, настроенный на радианы. При использовании формулы D = a / sin A убедитесь в единицах измерения.
- Применение формулы D = c к непрямоугольному треугольнику. Диаметр описанной окружности равен гипотенузе только при угле 90°.
Часто задаваемые вопросы
Чем описанная окружность отличается от вписанной?
Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника, а вписанная касается всех трёх сторон изнутри. Центр описанной окружности – пересечение серединных перпендикуляров, центр вписанной – пересечение биссектрис.
Можно ли найти диаметр окружности, зная только две стороны треугольника?
Нет. Нужны либо все три стороны, либо две стороны и угол между ними (или напротив одной из них). Без этих данных треугольник определён неоднозначно, и диаметр рассчитать нельзя.
Как найти диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника?
Диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника равен гипотенузе. Это следствие теоремы Фалеса: прямой угол опирается на диаметр. Формула: D = c, где c – гипотенуза.
Существует ли треугольник, у которого вписанная и описанная окружности совпадают?
Нет. Описанная окружность всегда больше вписанной. Даже у равностороннего треугольника, где разница минимальна, радиус описанной окружности ровно вдвое больше радиуса вписанной: R = 2r.
Как связан диаметр описанной окружности с теоремой синусов?
Теорема синусов утверждает: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, где R – радиус описанной окружности. Отсюда диаметр D = 2R = a/sin A. Достаточно знать одну сторону и противолежащий угол.
Меняется ли формула вписанной окружности для тупоугольного треугольника?
Нет. Формула r = S/p работает для любого треугольника – остроугольного, прямоугольного и тупоугольного. Вписанная окружность существует у каждого треугольника без исключений.