Найти биссектрису угла C

9 мая 2026 г.

Биссектриса угла C в треугольнике – это отрезок луча, который делит угол C на две равные части и соединяет вершину угла с противоположной стороной. Основная задача при работе с биссектрисой обычно заключается в нахождении её длины, если известны стороны или углы треугольника.

При расчётах убедитесь, что все исходные данные (стороны и углы) приведены к единым единицам измерения и корректны для заданного треугольника.

Калькулятор выше позволяет вычислить длину биссектрисы, проведённой из угла C (обозначим её $l_c$), используя длину прилежащих сторон $a$ и $b$, а также величину угла $C$ или длину третьей стороны $c$.

Формулы для расчёта длины биссектрисы

Выбор формулы зависит от того, какие параметры треугольника вам известны.

1. Через стороны и косинус угла

Если известны стороны $a$ и $b$ (прилежащие к углу C) и сам угол $C$ (или его половина), удобнее всего использовать следующую формулу:

$$l_c = \frac{2ab \cos(C/2)}{a+b}$$

Эта формула наиболее универсальна, так как требует только знания двух сторон и величины угла между ними.

2. Через все стороны треугольника

Если известны длины всех трёх сторон ($a, b, c$), можно воспользоваться формулой, основанной на теореме о пропорциональности биссектрисы:

$$l_c = \frac{\sqrt{ab((a+b)^2 - c^2)}}{a+b}$$

3. Через отрезки противоположной стороны

Биссектриса угла C делит сторону $c$ на два отрезка $x$ и $y$, пропорциональных прилежащим сторонам $a$ и $b$. Если известны длины этих отрезков, длину биссектрисы можно найти через стороны:

$$l_c^2 = ab - xy$$

Как найти биссектрису в координатах

Если заданы координаты вершин треугольника $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ и $C(x_3, y_3)$, задача решается в три этапа:

Найдите длины сторон: Рассчитайте длины сторон $AC$ ($b$) и $BC$ ($a$) по формуле расстояния между двумя точками $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Найдите основание биссектрисы: Биссектриса делит противоположную сторону $AB$ в отношении $b:a$. Используйте формулу деления отрезка в данном отношении, чтобы найти координаты точки $D$ на стороне $AB$.
Рассчитайте длину: Найдите расстояние между точкой $C$ и найденной точкой $D$.

Частые ошибки при расчётах

Путаница сторон: Убедитесь, что $a$ и $b$ – это именно те стороны, которые образуют угол C. Если вы используете сторону $c$ (противолежащую углу C) в формуле вместо $a$ или $b$, результат будет неверным.
Радианы и градусы: При использовании калькуляторов или функции косинуса следите за тем, в каких единицах вычисляется угол (градусы или радианы).
Порядок действий: В сложных формулах сначала выполняйте сложение и вычитание в скобках, затем умножение и деление, и только в конце – извлечение квадратного корня.

Часто задаваемые вопросы

В чем разница между биссектрисой, медианой и высотой?

Биссектриса делит угол пополам, медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, а высота перпендикулярна противоположной стороне. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, одновременно является медианой и высотой.

Всегда ли биссектриса находится внутри треугольника?

Да, биссектриса внутреннего угла любого треугольника всегда проходит через его внутреннюю область и пересекает противоположную сторону. Внешняя биссектриса угла находится вне треугольника.

Как влияет размер угла C на длину биссектрисы?

Чем больше величина угла C при прочих равных сторонах, тем меньше длина биссектрисы. Это следует из формулы через косинус половинного угла, так как значение косинуса уменьшается при увеличении угла до 180 градусов.

Можно ли найти биссектрису, если известны только координаты вершин?

Да, для этого сначала находят длины всех сторон треугольника по координатам (через теорему Пифагора), а затем используют формулу длины биссектрисы через стороны треугольника.