Как найти биссектрису AD
Когда в задаче просят найти биссектрису AD, речь идёт об отрезке, который выходит из вершины A треугольника ABC и делит угол A пополам, пересекая сторону BC в точке D. Длину этого отрезка можно вычислить несколькими способами – в зависимости от того, какие данные известны.
Формула биссектрисы AD через стороны треугольника
Самый распространённый способ – расчёт через три стороны. Если известны стороны a = BC, b = AC, c = AB, длина биссектрисы AD:
$$AD = \frac{2}{b+c}\sqrt{b \cdot c \cdot p \cdot (p-a)}$$где p – полупериметр треугольника:
$$p = \frac{a+b+c}{2}$$Пример. Дан треугольник со сторонами a = 7, b = 6, c = 5.
- Полупериметр: p = (7 + 6 + 5) / 2 = 9
- AD = (2 / (6 + 5)) · √(6 · 5 · 9 · (9 − 7)) = (2/11) · √540 ≈ (2/11) · 23,24 ≈ 4,23
Формула биссектрисы AD через две стороны и угол
Если известны стороны b, c и угол α между ними:
$$AD = \frac{2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}$$Эта формула удобна, когда угол задан явно или легко вычисляется.
Пример. Стороны b = 8, c = 10, угол A = 60°.
AD = (2 · 8 · 10 · cos 30°) / (8 + 10) = (160 · 0,866) / 18 ≈ 138,56 / 18 ≈ 7,70
Как найти биссектрису AD через квадрат длины
Ещё одна форма записи – через квадрат биссектрисы:
$$AD^2 = b \cdot c - \frac{a^2 \cdot b \cdot c}{(b+c)^2}$$После извлечения корня получаем длину AD. Формула удобна для алгебраических преобразований и доказательств.
Свойство биссектрисы: деление противоположной стороны
Биссектриса AD делит сторону BC на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$$Длины отрезков:
- BD = a · c / (b + c)
- DC = a · b / (b + c)
Это свойство позволяет найти положение точки D, а затем вычислить AD по теореме косинусов из треугольника ABD или ACD.
Частные случаи
Равносторонний треугольник
Все стороны равны a. Биссектриса совпадает с медианой и высотой:
$$AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$При a = 6: AD = 6√3/2 ≈ 5,20.
Равнобедренный треугольник
Если b = c (AB = AC), биссектриса AD – одновременно медиана и высота. Формула через основание a и боковую сторону b:
$$AD = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$$Прямоугольный треугольник
Для угла A, не равного 90°, применяется общая формула через стороны. Если C = 90°, a = BC – гипотенуза:
$$AD = \frac{b\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{a + b}$$Пошаговый алгоритм расчёта
- Определите, какие данные известны: три стороны, две стороны и угол, или другие комбинации.
- Выберите подходящую формулу.
- Подставьте значения и вычислите промежуточные величины (полупериметр, косинус половины угла).
- Найдите AD. Проверьте результат: длина биссектрисы всегда меньше каждой из сторон, образующих угол.
Калькулятор выше автоматически рассчитает длину биссектрисы AD по трём сторонам – достаточно ввести значения a, b и c.
Формулы приведены для плоского евклидова треугольника. Для сферических и других неевклидовых случаев расчёт иной.