Как найти биссектрису AD

11 мая 2026 г.

Когда в задаче просят найти биссектрису AD, речь идёт об отрезке, который выходит из вершины A треугольника ABC и делит угол A пополам, пересекая сторону BC в точке D. Длину этого отрезка можно вычислить несколькими способами – в зависимости от того, какие данные известны.

Параметры треугольника

Три стороны Стороны и угол

Сторона b (AC), ед. Сторона c (AB), ед.

Сторона a (BC), ед.

Формула биссектрисы AD через стороны треугольника

Самый распространённый способ – расчёт через три стороны. Если известны стороны a = BC, b = AC, c = AB, длина биссектрисы AD:

$$AD = \frac{2}{b+c}\sqrt{b \cdot c \cdot p \cdot (p-a)}$$

где p – полупериметр треугольника:

$$p = \frac{a+b+c}{2}$$

Пример. Дан треугольник со сторонами a = 7, b = 6, c = 5.

Полупериметр: p = (7 + 6 + 5) / 2 = 9
AD = (2 / (6 + 5)) · √(6 · 5 · 9 · (9 − 7)) = (2/11) · √540 ≈ (2/11) · 23,24 ≈ 4,23

Формула биссектрисы AD через две стороны и угол

Если известны стороны b, c и угол α между ними:

$$AD = \frac{2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}$$

Эта формула удобна, когда угол задан явно или легко вычисляется.

Пример. Стороны b = 8, c = 10, угол A = 60°.

AD = (2 · 8 · 10 · cos 30°) / (8 + 10) = (160 · 0,866) / 18 ≈ 138,56 / 18 ≈ 7,70

Как найти биссектрису AD через квадрат длины

Ещё одна форма записи – через квадрат биссектрисы:

$$AD^2 = b \cdot c - \frac{a^2 \cdot b \cdot c}{(b+c)^2}$$

После извлечения корня получаем длину AD. Формула удобна для алгебраических преобразований и доказательств.

Свойство биссектрисы: деление противоположной стороны

Биссектриса AD делит сторону BC на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$$

Длины отрезков:

BD = a · c / (b + c)
DC = a · b / (b + c)

Это свойство позволяет найти положение точки D, а затем вычислить AD по теореме косинусов из треугольника ABD или ACD.

Частные случаи

Равносторонний треугольник

Все стороны равны a. Биссектриса совпадает с медианой и высотой:

$$AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

При a = 6: AD = 6√3/2 ≈ 5,20.

Равнобедренный треугольник

Если b = c (AB = AC), биссектриса AD – одновременно медиана и высота. Формула через основание a и боковую сторону b:

$$AD = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$$

Прямоугольный треугольник

Для угла A, не равного 90°, применяется общая формула через стороны. Если C = 90°, a = BC – гипотенуза:

$$AD = \frac{b\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{a + b}$$

Пошаговый алгоритм расчёта

Определите, какие данные известны: три стороны, две стороны и угол, или другие комбинации.
Выберите подходящую формулу.
Подставьте значения и вычислите промежуточные величины (полупериметр, косинус половины угла).
Найдите AD. Проверьте результат: длина биссектрисы всегда меньше каждой из сторон, образующих угол.

Калькулятор выше автоматически рассчитает длину биссектрисы AD по трём сторонам – достаточно ввести значения a, b и c.

Формулы приведены для плоского евклидова треугольника. Для сферических и других неевклидовых случаев расчёт иной.

Часто задаваемые вопросы

Что означает буква D в обозначении биссектрисы AD?

D – точка пересечения биссектрисы угла A со стороной BC. Отрезок AD соединяет вершину A с этой точкой, поэтому биссектрису обозначают через AD.

Можно ли найти биссектрису AD, зная только две стороны треугольника?

Нет, для расчёта нужны либо все три стороны, либо две стороны и угол между ними. Двух сторон недостаточно – треугольник не определён однозначно.

На какие отрезки биссектриса AD делит сторону BC?

По свойству биссектрисы: BD/DC = AB/AC = c/b. Длины отрезков: BD = ac/(b+c) и DC = ab/(b+c).

Как вычислить биссектрису прямоугольного треугольника?

Используйте общую формулу через стороны. Для прямого угла C: AD = (b·√(2a²+2b²-c²))/(a+b), где c – гипотенуза.

Зависит ли длина биссектрисы от типа треугольника?

Да. В равностороннем треугольнике со стороной a длина AD = a√3/2. В равнобедренном формула упрощается за счёт равенства боковых сторон.

Результаты расчёта