Найти BC параллелограмма

Прямой способ: противоположные стороны

BC всегда равна AD – в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Это основное свойство. Если известна длина AD, сразу получишь BC.

Но чаще в задачах дано что-то другое. Рассмотрим основные сценарии.

Как найти BC через диагонали и угол?

Диагонали параллелограмма связаны со сторонами через теорему косинусов.

Если обозначить стороны AB и BC, диагонали d₁ и d₂, угол α между сторонами:

d₁² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos(α)

d₂² = AB² + BC² + 2·AB·BC·cos(α)

Сложив оба уравнения, избавишься от произведения:

d₁² + d₂² = 2(AB² + BC²)

Отсюда:

BC = √[(d₁² + d₂²)/2 − AB²]

Пример

Диагонали параллелограмма 10 и 8 см, сторона AB = 6 см. Найти BC.

BC = √[(10² + 8²)/2 − 6²] BC = √[(100 + 64)/2 − 36] BC = √[82 − 36] BC = √46 ≈ 6,78 см

Как найти BC через периметр?

Периметр P = 2(AB + BC)

Если известны периметр и сторона AB:

BC = P/2 − AB

Пример

Периметр 28 см, AB = 8 см.

BC = 28/2 − 8 = 14 − 8 = 6 см

Как найти BC через площадь и высоту?

Площадь = BC · h, где h – высота, опущенная на сторону BC.

Отсюда:

BC = Площадь / h

Пример

Площадь параллелограмма 30 см², высота к BC равна 5 см.

BC = 30 / 5 = 6 см

Как найти BC через площадь и угол?

Площадь = AB · BC · sin(α), где α – угол между сторонами AB и BC.

Если известны площадь, сторона AB и угол:

BC = Площадь / (AB · sin(α))

Пример

Площадь 36 см², AB = 9 см, угол 30°.

BC = 36 / (9 · sin(30°)) BC = 36 / (9 · 0,5) BC = 36 / 4,5 = 8 см

Когда нужен косинус, когда синус?

• Косинус (теорема косинусов) – используешь при известных диагоналях и одной стороне. Связывает стороны и диагонали через угол между сторонами.
• Синус – используешь при известной площади или высоте, и угле между сторонами.

Типичная задача из учебника

Дан параллелограмм ABCD. Диагонали AC = 13 см, BD = 11 см. Сторона AB = 7 см. Найти BC.

Решение:

AC² + BD² = 2(AB² + BC²)

13² + 11² = 2(7² + BC²)

169 + 121 = 2(49 + BC²)

290 = 98 + 2·BC²

192 = 2·BC²

BC² = 96

BC = √96 = 4√6 ≈ 9,8 см

Все формулы верны при условии, что параллелограмм невырожденный (т. е. стороны не лежат на одной прямой).