Обновлено: 8 мая 2026 г.

Найти AD в трапеции

Задача «найти AD в трапеции» встречается и в школьных контрольных, и на ОГЭ с ЕГЭ. AD – это одна из сторон четырёхугольника ABCD, и в большинстве задач именно она оказывается основанием. Метод расчёта зависит от того, что ещё дано: средняя линия, высота, диагонали или углы.

Что обозначает AD в трапеции ABCD

Вершины трапеции принято обозначать против часовой стрелки или по часовой, начиная с левой нижней. При записи ABCD стороны AB и CD – боковые, а AD и BC – параллельные основания. Поэтому AD почти всегда означает одно из двух оснований, чаще нижнее.

Если в задаче не указано иное, считайте: AD ∥ BC, а AB и CD – наклонные.

Как найти AD в трапеции: пять рабочих способов

Выбор формулы зависит от исходных данных.

1. Через среднюю линию. Средняя линия m соединяет середины боковых сторон и равна полусумме оснований:

m = (AD + BC) / 2 → AD = 2m − BC

2. Через высоту в равнобедренной трапеции. Опустив высоты из вершин B и C на AD, получают два равных прямоугольных треугольника по краям:

AD = BC + 2 · √(AB² − h²)

где AB – боковая сторона, h – высота.

3. Через теорему Пифагора в прямоугольной трапеции. Если угол A прямой, то AB = h. Опускаем высоту CH из вершины C; треугольник DHC прямоугольный:

AD = BC + √(CD² − h²)

4. Через подобие треугольников по диагоналям. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники BOC и DOA подобны, и:

AD / BC = AO / OC = DO / OB

Зная BC и одно из отношений, получают AD.

5. Через теорему косинусов. Если известны диагональ BD, боковая сторона AB и угол A, в треугольнике ABD:

BD² = AB² + AD² − 2 · AB · AD · cos A

Это квадратное уравнение относительно AD.

Пояснение формулы

Для равнобедренной трапеции мы опускаем высоты из вершин верхнего основания. Внизу образуются два равных прямоугольных треугольника.

Находим проекцию катета по теореме Пифагора: sqrt(AB² − h²).
Формула для основания: AD = BC + 2 · sqrt(AB² − h²).

Калькулятор выше считает AD для равнобедренной трапеции по трём параметрам: меньшему основанию BC, высоте h и боковой стороне AB. В основе – формула AD = BC + 2 · √(AB² − h²). Если задана прямоугольная трапеция, подставьте AB вместо боковой стороны CD, а высоту приравняйте к перпендикулярной стороне.

Как найти AD в трапеции по средней линии?

Самый частый школьный случай. Дано: средняя линия m = 12 см, меньшее основание BC = 7 см. Применяем формулу:

AD = 2 · 12 − 7 = 17 см

Проверка: (17 + 7) / 2 = 12 – совпадает.

Если средняя линия задана не напрямую, её можно получить из площади: m = S / h. Тогда AD считается в два шага.

Пример: AD в равнобедренной трапеции

Условие: ABCD – равнобедренная трапеция, BC = 6, AB = CD = 5, высота h = 4. Найти AD.

Решение по формуле №2:

Находим проекцию боковой стороны: √(5² − 4²) = √9 = 3
AD = 6 + 2 · 3 = 12

Дополнительная проверка через площадь: S = (AD + BC)/2 · h = (12 + 6)/2 · 4 = 36. Тот же результат даёт разбиение трапеции на прямоугольник 6×4 и два треугольника со сторонами 3 и 4 – площадь 24 + 12 = 36.

Когда какой метод выбирать

Что дано в задаче	Подходящий способ
Средняя линия и BC	Формула `AD = 2m − BC`
Боковые стороны и высота, трапеция равнобедренная	Через теорему Пифагора по краям
Прямой угол при A или D	Прямоугольная трапеция, проекция CD
Диагонали и их отношения	Подобие треугольников AOD и BOC
Диагональ, боковая, угол	Теорема косинусов
Площадь и высота	Сначала средняя линия, затем основание

Частые ошибки

Путаница оснований и боковых сторон. В записи ABCD основания – это AD и BC, а не AB и CD.
Забытый множитель 2 в формуле средней линии: правильное AD = 2m − BC, а не m − BC.
Применение формулы равнобедренной трапеции к произвольной. Если AB ≠ CD, два краевых треугольника не равны, и проекции считают отдельно.
Знак под корнем. Если получилось AB² − h² < 0, значит, высота больше боковой стороны – данные противоречивы.
Не та диагональ в теореме косинусов. Из вершины A выходит диагональ AC, а не BD; угол A лежит между AB и AD, поэтому в треугольнике ABD напротив угла A стоит сторона BD.

После расчёта подставьте найденное AD обратно: средняя линия, площадь и сумма углов при боковой стороне должны сойтись с условием. Это страховка от арифметических ошибок и от неверно выбранной формулы.

Часто задаваемые вопросы

AD – это всегда большее основание трапеции?

В стандартной школьной записи ABCD вершины обходят по контуру, поэтому AD и BC – параллельные стороны (основания), а AB и CD – боковые. Какое из оснований больше, зависит от конкретной задачи: чаще AD рисуют нижним и большим, но это лишь соглашение.

Что делать, если в условии нет высоты?

Высоту можно выразить через боковую сторону и угол при основании: h = AB · sin A. В равнобедренной трапеции её также находят по теореме Пифагора, зная боковую сторону и разность оснований. Иногда быстрее работать через теорему косинусов в треугольнике с диагональю.

Как найти AD, если известна только средняя линия?

Одной средней линии недостаточно: m = (AD + BC) / 2 связывает сразу два основания. Нужно дополнительно знать BC – тогда AD = 2m − BC. Если BC неизвестно, потребуется ещё одно соотношение: площадь, высота или угол.

Можно ли найти AD через диагонали?

Да, если диагонали трапеции пересекаются в точке O, треугольники AOD и BOC подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен AD / BC, и он же равен отношениям AO/OC и DO/OB. Зная BC и одно из этих отношений, AD находят умножением.

Чем отличается расчёт AD в прямоугольной трапеции?

В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и равна высоте. Опустив высоту из тупого угла, получают прямоугольный треугольник, где AD = BC + проекция наклонной боковой стороны, найденная по теореме Пифагора.

Как проверить ответ?

Подставьте найденное AD в исходные соотношения: средняя линия должна равняться полусумме оснований, площадь – произведению средней линии на высоту, а сумма углов при каждой боковой стороне – 180°. Если все проверки сходятся, ответ верный.