Найти AD в трапеции
Задача «найти AD в трапеции» встречается и в школьных контрольных, и на ОГЭ с ЕГЭ. AD – это одна из сторон четырёхугольника ABCD, и в большинстве задач именно она оказывается основанием. Метод расчёта зависит от того, что ещё дано: средняя линия, высота, диагонали или углы.
Что обозначает AD в трапеции ABCD
Вершины трапеции принято обозначать против часовой стрелки или по часовой, начиная с левой нижней. При записи ABCD стороны AB и CD – боковые, а AD и BC – параллельные основания. Поэтому AD почти всегда означает одно из двух оснований, чаще нижнее.
Если в задаче не указано иное, считайте: AD ∥ BC, а AB и CD – наклонные.
Как найти AD в трапеции: пять рабочих способов
Выбор формулы зависит от исходных данных.
1. Через среднюю линию. Средняя линия m соединяет середины боковых сторон и равна полусумме оснований:
m = (AD + BC) / 2 → AD = 2m − BC
2. Через высоту в равнобедренной трапеции. Опустив высоты из вершин B и C на AD, получают два равных прямоугольных треугольника по краям:
AD = BC + 2 · √(AB² − h²)
где AB – боковая сторона, h – высота.
3. Через теорему Пифагора в прямоугольной трапеции. Если угол A прямой, то AB = h. Опускаем высоту CH из вершины C; треугольник DHC прямоугольный:
AD = BC + √(CD² − h²)
4. Через подобие треугольников по диагоналям. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники BOC и DOA подобны, и:
AD / BC = AO / OC = DO / OB
Зная BC и одно из отношений, получают AD.
5. Через теорему косинусов. Если известны диагональ BD, боковая сторона AB и угол A, в треугольнике ABD:
BD² = AB² + AD² − 2 · AB · AD · cos A
Это квадратное уравнение относительно AD.
Пояснение формулы
Для равнобедренной трапеции мы опускаем высоты из вершин верхнего основания. Внизу образуются два равных прямоугольных треугольника.
- Находим проекцию катета по теореме Пифагора:
sqrt(AB² − h²). - Формула для основания:
AD = BC + 2 · sqrt(AB² − h²).
Калькулятор выше считает AD для равнобедренной трапеции по трём параметрам: меньшему основанию BC, высоте h и боковой стороне AB. В основе – формула AD = BC + 2 · √(AB² − h²). Если задана прямоугольная трапеция, подставьте AB вместо боковой стороны CD, а высоту приравняйте к перпендикулярной стороне.
Как найти AD в трапеции по средней линии?
Самый частый школьный случай. Дано: средняя линия m = 12 см, меньшее основание BC = 7 см. Применяем формулу:
AD = 2 · 12 − 7 = 17 см
Проверка: (17 + 7) / 2 = 12 – совпадает.
Если средняя линия задана не напрямую, её можно получить из площади: m = S / h. Тогда AD считается в два шага.
Пример: AD в равнобедренной трапеции
Условие: ABCD – равнобедренная трапеция, BC = 6, AB = CD = 5, высота h = 4. Найти AD.
Решение по формуле №2:
- Находим проекцию боковой стороны:
√(5² − 4²) = √9 = 3 - AD = 6 + 2 · 3 = 12
Дополнительная проверка через площадь: S = (AD + BC)/2 · h = (12 + 6)/2 · 4 = 36. Тот же результат даёт разбиение трапеции на прямоугольник 6×4 и два треугольника со сторонами 3 и 4 – площадь 24 + 12 = 36.
Когда какой метод выбирать
| Что дано в задаче | Подходящий способ |
|---|---|
| Средняя линия и BC | Формула AD = 2m − BC |
| Боковые стороны и высота, трапеция равнобедренная | Через теорему Пифагора по краям |
| Прямой угол при A или D | Прямоугольная трапеция, проекция CD |
| Диагонали и их отношения | Подобие треугольников AOD и BOC |
| Диагональ, боковая, угол | Теорема косинусов |
| Площадь и высота | Сначала средняя линия, затем основание |
Частые ошибки
- Путаница оснований и боковых сторон. В записи ABCD основания – это AD и BC, а не AB и CD.
- Забытый множитель 2 в формуле средней линии: правильное
AD = 2m − BC, а неm − BC. - Применение формулы равнобедренной трапеции к произвольной. Если AB ≠ CD, два краевых треугольника не равны, и проекции считают отдельно.
- Знак под корнем. Если получилось
AB² − h² < 0, значит, высота больше боковой стороны – данные противоречивы. - Не та диагональ в теореме косинусов. Из вершины A выходит диагональ AC, а не BD; угол A лежит между AB и AD, поэтому в треугольнике ABD напротив угла A стоит сторона BD.
После расчёта подставьте найденное AD обратно: средняя линия, площадь и сумма углов при боковой стороне должны сойтись с условием. Это страховка от арифметических ошибок и от неверно выбранной формулы.