Найти ACB

В геометрии запись ACB обозначает угол с вершиной в точке C, образованный отрезками CA и CB. Задача «найти ACB» чаще всего требует вычислить его градусную меру, но в условиях может фигурировать и поиск сторон треугольника, и площади фигуры. Далее – способы расчёта для типовых случаев.

Калькулятор выше позволяет найти ACB двумя способами: по длинам трёх сторон треугольника или по координатам точек A, C и B. В первом случае достаточно ввести AB, BC и AC, во втором – пару координат каждой точки, чтобы получить угол в градусах и радианах.

Как вычислить угол ACB по трём сторонам?

Если известны длины всех сторон треугольника, используйте теорему косинусов. Обозначьте: сторона AB, лежащая против угла C, равна c; AC = b; BC = a. Тогда:

cos(∠ACB) = (a² + b² − c²) / (2ab)

∠ACB = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))

Результат после arccos по умолчанию выдаётся в радианах; переведите его в градусы, умножив на 180/π.

Пример. Пусть BC = 5, AC = 6, AB = 7. Тогда:

cos(∠ACB) = (25 + 36 − 49) / (2 · 5 · 6) = 12 / 60 = 0,2.

Следовательно, ∠ACB = arccos(0,2) ≈ 78,46°.

Вычисление через координаты точек

При заданных координатах A(x₁; y₁), C(x₂; y₂) и B(x₃; y₃) составьте векторы CA и CB:

• вектор CA = (x₁ − x₂; y₁ − y₂)
• вектор CB = (x₃ − x₂; y₃ − y₂)

Угол между ними находится через скалярное произведение:

cos(∠ACB) = (CA · CB) / (|CA| · |CB|),

где CA · CB = (x₁ − x₂)(x₃ − x₂) + (y₁ − y₂)(y₃ − y₂).

Поиск сторон и площади при известном угле

Если заданы угол C и две прилежащие стороны, гипотенузу (или третью сторону) находят по теореме косинусов:

c² = a² + b² − 2ab · cos(∠ACB).

В прямоугольном треугольнике с углом C = 90° это обращается в теорему Пифагора:

AB² = AC² + BC².

Площадь треугольника при известном угле ACB считают так:

S = ½ · AC · BC · sin(∠ACB).

Чему равен вписанный угол ACB?

Если точки A, C и B лежат на окружности, а угол ACB опирается на дугу AB, то он является вписанным. Его градусная мера равна половине центрального угла AOB или половине градусной меры дуги AB:

∠ACB = ½ ∠AOB = ½ °д. AB.

Это свойство позволяет найти ACB без длин сторон, если известна дуга или центральный угол.

Типичные ошибки при расчётах

• Путают вершину: запись ABC означает угол при вершине B, а ACB – при вершине C.
• Игнорируют единицы измерения: после arccos в большинстве вычислителей результат в радианах.
• Применяют теорему Пифагора к треугольнику, не имеющему прямого угла при C.
• Забывают, что сумма углов треугольника ABC равна 180°: ∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°.