Обновлено:
Найти 4 член прогрессии
Задачи на нахождение конкретного члена прогрессии встречаются в школьной программе и на экзаменах. Чтобы найти 4 член прогрессии, нужно понять, какой тип последовательности перед вами, и применить соответствующую формулу.
Что такое прогрессия?
Прогрессия – это последовательность чисел, где каждый следующий элемент связан с предыдущим по фиксированному правилу. Существуют два основных типа: арифметическая и геометрическая.
Найти 4 член арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия – это последовательность, где разность между соседними членами постоянна. Это число называют разностью прогрессии (обозначают d).
Формула
Для n-го члена арифметической прогрессии используется формула:
aₙ = a₁ + (n − 1)d
Где:
- aₙ – n-й член прогрессии
- a₁ – первый член
- d – разность прогрессии
- n – номер члена (в нашем случае 4)
Для 4-го члена формула упрощается:
a₄ = a₁ + 3d
Пример 1: Вычисление по известным a₁ и d
Дано: a₁ = 10, d = 5
a₄ = 10 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Пример 2: Вычисление, если известны соседние члены
Если дано: a₁ = 3, a₂ = 7, то разность d = 7 − 3 = 4
a₄ = 3 + 3 × 4 = 3 + 12 = 15
Или через соседние члены: a₃ = 11, a₅ = 19, то d = 4 и a₄ = 15
Таблица примеров
| a₁ | d | Расчёт | a₄ |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 + 3×3 | 11 |
| −5 | 2 | −5 + 3×2 | 1 |
| 100 | −10 | 100 + 3×(−10) | 70 |
| 0,5 | 1,5 | 0,5 + 3×1,5 | 5 |
Найти 4 член геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия – это последовательность, где каждый член больше или меньше предыдущего в одно и то же число раз. Это число называют знаменателем прогрессии (обозначают q).
Формула
Для n-го члена геометрической прогрессии:
bₙ = b₁ × q^(n−1)
Где:
- bₙ – n-й член прогрессии
- b₁ – первый член
- q – знаменатель прогрессии
- n – номер члена
Для 4-го члена:
b₄ = b₁ × q³
Пример 1: Вычисление по b₁ и q
Дано: b₁ = 2, q = 3
b₄ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54
Пример 2: Когда знаменатель дробный
Дано: b₁ = 16, q = 0,5
b₄ = 16 × 0,5³ = 16 × 0,125 = 2
Пример 3: Отрицательный знаменатель
Дано: b₁ = 1, q = −2
b₄ = 1 × (−2)³ = 1 × (−8) = −8
Таблица примеров
| b₁ | q | Расчёт | b₄ |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 × 2³ | 8 |
| 3 | 3 | 3 × 3³ | 81 |
| 100 | 0,1 | 100 × 0,1³ | 0,1 |
| 5 | −1 | 5 × (−1)³ | −5 |
Калькулятор 4-го члена прогрессии
Калькулятор выше позволяет быстро найти 4-й член для обоих типов прогрессий. Введите первый член, знаменатель или разность и получите результат мгновенно.
Как найти 4 член, если даны другие элементы?
Если известны a₂ и a₃ (арифметическая прогрессия)
Разность d = a₃ − a₂
a₄ = a₃ + d
Пример: a₂ = 8, a₃ = 12
- d = 12 − 8 = 4
- a₄ = 12 + 4 = 16
- Проверка: a₁ = 4, формула a₄ = 4 + 3×4 = 16 ✓
Если известны b₂ и b₃ (геометрическая прогрессия)
Знаменатель q = b₃ / b₂
b₄ = b₃ × q
Пример: b₂ = 6, b₃ = 18
- q = 18 / 6 = 3
- b₄ = 18 × 3 = 54
- Проверка: b₁ = 2, формула b₄ = 2 × 3³ = 54 ✓
Типичные ошибки
Ошибка 1: Путаница между номером члена и степенью
В формуле b₄ = b₁ × q³ показатель степени равен 3, а не 4. Это потому что (n − 1) = 4 − 1 = 3.
Ошибка 2: Неправильный расчёт разности в арифметической прогрессии
d = a₂ − a₁, а не a₂ / a₁. Для последовательности 5, 8, 11 разность d = 3, не 1,6.
Ошибка 3: Применение одной формулы к обоим типам прогрессий
Арифметическую прогрессию вычисляют через сложение (a₄ = a₁ + 3d), геометрическую – через умножение (b₄ = b₁ × q³).
Ошибка 4: Забывание о знаке при отрицательном q
Если q = −2, то q³ = −8, не 8. Знак имеет значение.
При решении задач на прогрессии перепроверяйте исходные данные и убедитесь в определении типа прогрессии перед расчётом.
Часто задаваемые вопросы
Как найти 4 член арифметической прогрессии, если известны первый член и разность?
Используй формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d. Для 4-го члена: a₄ = a₁ + 3d. Например, если a₁ = 5 и d = 2, то a₄ = 5 + 3 × 2 = 11.
Какая формула для нахождения 4 члена геометрической прогрессии?
Применяется формула bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹. Для 4-го члена: b₄ = b₁ × q³. Например, при b₁ = 3 и q = 2 получится b₄ = 3 × 2³ = 24.
Можно ли найти 4 член прогрессии, зная только сумму членов?
Нет, нужны дополнительные данные – минимум три соседних члена или первый член и разность/знаменатель. Сумма сама по себе не определяет отдельный элемент.
Чем отличается 4 член от 4-й частичной суммы в прогрессии?
4 член (a₄) – это один конкретный элемент последовательности. 4-я частичная сумма (S₄) – это сумма первых четырёх членов. Это разные величины.