Обновлено: 7 мая 2026 г.

Как найти 2 угла треугольника

Задача «найти 2 угла треугольника» решается по-разному – зависит от того, какие данные известны. В одних случаях хватит теоремы косинусов, в других потребуется теорема синусов, в третьих – свойства прямоугольного треугольника. Разберём все типовые сценарии.

По трём сторонам (теорема косинусов)

Это самый распространённый случай: даны стороны a, b, c. Угол напротив стороны a обозначим α.

Формула:

$$cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

Аналогично для угла β (напротив стороны b):

$$cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$

Третий угол γ находится по остаточному принципу:

$$\gamma = 180° - \alpha - \beta$$

Пример

Стороны треугольника: a = 7, b = 5, c = 6.

Угол α:
- cos(α) = (5² + 6² − 7²) / (2 · 5 · 6) = (25 + 36 − 49) / 60 = 12 / 60 = 0,2
- α = arccos(0,2) ≈ 78,5°
Угол β:
- cos(β) = (7² + 6² − 5²) / (2 · 7 · 6) = (49 + 36 − 25) / 84 = 60 / 84 ≈ 0,714
- β = arccos(0,714) ≈ 44,4°
Угол γ: γ = 180° − 78,5° − 44,4° ≈ 57,1°

По двум сторонам и углу между ними

Если даны стороны b, c и угол α между ними, сначала находим сторону a по теореме косинусов:

$$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(\alpha)}$$

Затем углы β и γ – по теореме синусов:

$$\frac{sin(\beta)}{b} = \frac{sin(\alpha)}{a} \quad \Rightarrow \quad \beta = arcsin\left(\frac{b \cdot sin(\alpha)}{a}\right)$$$$\gamma = 180° - \alpha - \beta$$

Пример

Дано: b = 8, c = 5, α = 40°.

Сторона a:
- a = √(8² + 5² − 2·8·5·cos40°) = √(64 + 25 − 80·0,766) ≈ √27,7 ≈ 5,26
Угол β:
- sin(β) = (8·sin40°) / 5,26 ≈ 5,13 / 5,26 ≈ 0,975
- β ≈ arcsin(0,975) ≈ 77,6°
Угол γ: γ = 180° − 40° − 77,6° ≈ 62,4°

В прямоугольном треугольнике

Если треугольник прямоугольный, один угол уже известен – 90°. Второй угол находится через отношение сторон:

$$\beta = arctg\left(\frac{противолежащий\ катет}{прилежащий\ катет}\right)$$

или через arcsin / arccos:

$$\beta = arcsin\left(\frac{противолежащий\ катет}{гипотенуза}\right)$$

Третий угол: γ = 90° − β.

Пример

Катеты: 3 и 4, гипотенуза = 5 (египетский треугольник).

β = arctg(3/4) ≈ 36,87°
γ = 90° − 36,87° ≈ 53,13°

По площади и высоте

Если известны площадь S и высота h, проведённая к стороне a, то:

$$a = \frac{2S}{h}$$

Дальше задача сводится к случаю «по трём сторонам» – нужно найти хотя бы ещё одну сторону, иначе углы определяются неоднозначно.

Частые ошибки

Неоднозначность arcsin: уравнение sin(β) = X имеет два решения в диапазоне 0–180° (β и 180° − β). Выбирайте правильное, учитывая, что сумма всех углов = 180°.
Острый или тупой угол: теорема косинусов даёт ответ напрямую, но если вы работаете с arcsin, помните: при отрицательном косинусе (a² > b² + c²) угол тупой.
Проверка: всегда проверяйте, что α + β + γ = 180° (±0,5° допустимо из-за погрешности вычислений).

Резюме: чтобы найти 2 угла треугольника, определите, какие данные у вас есть – три стороны, две стороны с углом, прямоугольный треугольник. Далее примените теорему косинусов, теорему синусов или тригонометрические функции острого угла.

Для быстрой проверки результатов используйте калькулятор, расположенный выше.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти 2 угла треугольника, зная только одну сторону?

Нет, одной стороны недостаточно. Нужно знать либо две стороны, либо сторону и два прилегающих угла, либо площадь с высотой.

Как найти углы, если известны все три стороны?

По теореме косинусов: cos(α) = (b² + c² − a²) / (2bc). Повторить для каждого угла с соответствующей заменой переменных.

Что делать, если треугольник прямоугольный?

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Остальные находятся через arcsin или arctg отношения сторон.

Почему сумма найденных углов должна быть меньше 180°?

Сумма всех трёх углов любого треугольника равна 180° (аксиома Евклида). Это служит проверкой правильности расчётов.