Найдите угол BC
В задачах по геометрии формулировка «найдите угол BC» означает: вычислите величину угла B в треугольнике с вершинами A, B и C. Обозначение ∠B (или ∠ABC) – это угол с вершиной в точке B, образованный сторонами BA и BC. Для решения достаточно знать минимальный набор данных: два других угла, три стороны или комбинацию сторон и углов.
Способ 1: через сумму углов треугольника
Фундаментальное свойство: сумма углов любого треугольника равна 180°. Зная два угла, третий находится вычитанием:
∠B = 180° − ∠A − ∠C
Пример 1
Треугольник ABC, ∠A = 52°, ∠C = 40°.
∠B = 180° − 52° − 40° = 88°
Пример 2
Треугольник ABC, ∠A = 45°, ∠C = 55°.
∠B = 180° − 45° − 55° = 80°
Это самый быстрый способ – он работает, когда известны два угла. Именно его используют в большинстве задач из раздела «Сумма углов треугольника» в 7-м классе.
Способ 2: через теорему косинусов
Когда известны три стороны треугольника, а углы не заданы, применяют теорему косинусов. Стандартные обозначения: сторона a лежит против угла A, сторона b – против угла B, сторона c – против угла C.
Формула для угла B:
cos B = (a² + c² − b²) / (2 · a · c)
Затем: B = arccos(cos B)
Пример 3
Стороны: a = 5, b = 7, c = 8.
- a² + c² − b² = 25 + 64 − 49 = 40
- 2 · a · c = 2 · 5 · 8 = 80
- cos B = 40 / 80 = 0,5
- B = arccos(0,5) = 60°
Пример 4
Стороны: a = 6, b = 10, c = 8.
- a² + c² − b² = 36 + 64 − 100 = 0
- 2 · a · c = 2 · 6 · 8 = 96
- cos B = 0 / 96 = 0
- B = arccos(0) = 90° (прямоугольный треугольник)
Определение типа угла по знаку косинуса
| Значение cos B | Тип угла | Величина |
|---|---|---|
| cos B > 0 | Острый | < 90° |
| cos B = 0 | Прямой | = 90° |
| cos B < 0 | Тупой | > 90° |
Способ 3: через теорему синусов
Если известны одна сторона, один угол и сторона, противолежащая искомому углу, подходит теорема синусов:
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
Отсюда для угла B:
sin B = (b · sin A) / a
После вычисления arcsin определяется ∠B. Важно помнить: arcsin даёт острый угол, но угол B может быть тупым. Если из условия задачи следует, что ∠B > 90°, то:
∠B = 180° − arcsin(sin B)
Пример 5
Сторона a = 10, сторона b = 6, ∠A = 30°.
- sin B = (6 · sin 30°) / 10 = (6 · 0,5) / 10 = 3 / 10 = 0,3
- B = arcsin(0,3) ≈ 17,5°
Равнобедренный треугольник: особый случай
В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Если AB = BC, то треугольник равнобедренный с вершиной в точке B, а основание – AC. В этом случае углы при основании равны: ∠A = ∠C.
Пример 6 (задача из ОГЭ)
AB = BC, ∠BAC = 68°. Найдите ∠ABC.
- Так как AB = BC, треугольник равнобедренный.
- ∠BCA = ∠BAC = 68° (углы при основании равны).
- ∠ABC = 180° − 68° − 68° = 44°
Пример 7
AB = AC = 10, BC = 12. Найдите ∠B (он же ∠ABC).
Здесь AB = AC, значит основание – BC, и ∠B = ∠C. Применим теорему косинусов:
- Сторона, противолежащая углу B: b = AC = 10. Стороны, прилежащие: a = BC = 12, c = AB = 10.
- cos B = (a² + c² − b²) / (2 · a · c) = (144 + 100 − 100) / (2 · 12 · 10) = 144 / 240 = 0,6
- B = arccos(0,6) ≈ 53,1°
Прямоугольный треугольник: упрощение
Если треугольник ABC прямоугольный с прямым углом в вершине B (∠B = 90°), то ответ уже известен. Если прямой угол в вершине A или C, то:
∠B = 180° − 90° − (известный угол)
Например, ∠C = 90°, ∠A = 35° → ∠B = 180° − 90° − 35° = 55°.
В прямоугольном треугольнике также можно использовать тригонометрические соотношения:
- sin B = противолежащая катет / гипотенуза
- cos B = прилежащий катет / гипотенуза
- tg B = противолежащая катет / прилежащий катет
Сводная таблица формул
| Что известно | Формула для ∠B |
|---|---|
| Два угла (∠A и ∠C) | ∠B = 180° − ∠A − ∠C |
| Три стороны (a, b, c) | cos B = (a² + c² − b²) / (2ac) |
| Сторона b, угол A и сторона a | sin B = (b · sin A) / a |
| Равнобедренный: AB = BC, известен ∠A | ∠B = 180° − 2 · ∠A |
Типичные ошибки
- Неправильная нумерация сторон. Сторона a всегда против угла A, сторона b – против угла B, сторона c – против угла C. Подстановка в неправильную позицию – главная причина ошибок.
- Двойной ответ при arcsin. Sin B = 0,5 даёт и 30°, и 150°. Нужно проверять, какой угол допустим по условию.
- Забыть про радианы. Калькуляторы иногда выдают результат в радианах. 1 радиан ≈ 57,3°.
- Сумма углов больше 180°. Если при проверке ∠A + ∠B + ∠C ≠ 180°, значит, где-то допущена ошибка.
Как проверить результат
После нахождения угла B выполните проверку:
- Сумма: ∠A + ∠B + ∠C = 180° (допускается отклонение до 0,1° из-за округления).
- Стороны: чем больше сторона, тем больше противолежащий угол. Если b – наибольшая сторона, то ∠B – наибольший угол.
- Тип треугольника: если все углы < 90° – остроугольный; один = 90° – прямоугольный; один > 90° – тупоугольный.