Найдите стороны треугольника ABC

16 мая 2026 г.

Задачи на нахождение сторон треугольника ABC – одни из самых частых в школьной геометрии. Ученику дают несколько элементов (углы, другие стороны, площадь, медиану), а нужно вычислить неизвестные длины. Метод решения определяется набором исходных данных: для каждого случая подходит своя формула.

Калькулятор сторон треугольника ABC

Выберите известные элементы

Основные формулы для нахождения сторон треугольника ABC

Для расчёта сторон треугольника используют три ключевые теоремы. Какую применить – зависит от того, что известно.

Теорема Пифагора – для прямоугольного треугольника

Если в треугольнике ABC прямой угол при вершине C, гипотенуза и катеты связаны формулой:

c² = a² + b²

где c – гипотенуза AB (против прямого угла), a = BC и b = AC – катеты.

Из формулы легко получить любую сторону:

Гипотенуза: c = √(a² + b²)
Катет: a = √(c² − b²)

Кроме того, в прямоугольном треугольнике можно использовать тригонометрические соотношения:

Синус острого угла: sin A = a / c → a = c · sin A
Косинус острого угла: cos A = b / c → b = c · cos A
Тангенс острого угла: tan A = a / b → a = b · tan A

Теорема синусов

Связывает стороны треугольника с противолежащими им углами:

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

где R – радиус описанной окружности.

Обозначения: сторона a = BC лежит против угла A, сторона b = AC – против угла B, сторона c = AB – против угла C.

Теорема синусов применяется, когда известны:

два угла и одна сторона;
две стороны и угол, лежащий напротив одной из них.

Если даны два угла, третий находят по свойству суммы углов треугольника:

A + B + C = 180°

Теорема косинусов

Обобщение теоремы Пифагора для произвольного треугольника. Связывает три стороны и один угол:

a² = b² + c² − 2bc · cos A

Формула применяется, когда известны:

две стороны и угол между ними;
все три стороны (для нахождения угла).

Выражая неизвестную сторону:

a = √(b² + c² − 2bc · cos A)

Какую теорему выбрать для нахождения сторон треугольника ABC?

Выбор метода зависит от набора известных элементов. Вот краткая шпаргалка:

Что известно	Какую теорему использовать	Формула
Два катета (a, b)	Пифагор	c = √(a² + b²)
Катет и гипотенуза (a, c)	Пифагор	b = √(c² − a²)
Катет и острый угол (a, A)	Тригонометрия	c = a / sin A; b = a / tan A
Два угла (A, B) и сторона (a)	Синусов	b = a · sin B / sin A
Две стороны (b, c) и угол между ними (A)	Косинусов	a = √(b² + c² − 2bc · cos A)
Две стороны (a, c) и угол напротив одной из них (A)	Синусов (осторожно – случай SSA)	sin C = c · sin A / a

Важно: если известны только три угла, найти стороны невозможно – треугольник определён лишь с точностью до подобия.

Типовые задачи с решениями

Задача 1. Прямоугольный треугольник – теорема Пифагора

В треугольнике ABC угол C = 90°, AC = 6, BC = 8. Найдите сторону AB.

AB – гипотенуза, противолежащая прямому углу C:

AB = √(AC² + BC²) = √(36 + 64) = √100 = 10

Задача 2. Два угла и сторона – теорема синусов

В треугольнике ABC угол A = 30°, угол B = 105°, сторона AB = 12. Найдите сторону BC.

Шаг 1. Находим третий угол:

C = 180° − 30° − 105° = 45°

Шаг 2. Сторона BC лежит против угла A, сторона AB – против угла C. По теореме синусов:

BC / sin A = AB / sin C

BC = AB · sin A / sin C = 12 · sin 30° / sin 45° = 12 · 0,5 / 0,7071 ≈ 8,49

Задача 3. Две стороны и угол между ними – теорема косинусов

В треугольнике AB = 7, BC = 5, угол B = 60°. Найдите сторону AC.

Сторона AC лежит против угла B. По теореме косинусов:

AC² = AB² + BC² − 2 · AB · BC · cos B

AC² = 49 + 25 − 2 · 7 · 5 · cos 60° = 74 − 70 · 0,5 = 74 − 35 = 39

AC = √39 ≈ 6,24

Задача 4. Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник ABC, AB = BC = 10, угол B = 120°. Найдите основание AC.

AC² = AB² + BC² − 2 · AB · BC · cos B = 100 + 100 − 200 · cos 120°

cos 120° = −0,5, поэтому:

AC² = 200 − 200 · (−0,5) = 200 + 100 = 300

AC = √300 = 10√3 ≈ 17,32

Задача 5. Сторона через тригонометрические соотношения

В прямоугольном треугольнике ABC (C = 90°) гипотенуза AB = 13, угол A = 23°. Найдите катеты.

Катет BC (против угла A):

BC = AB · sin A = 13 · sin 23° = 13 · 0,3907 ≈ 5,08

Катет AC (прилежащий к углу A):

AC = AB · cos A = 13 · cos 23° = 13 · 0,9205 ≈ 11,97

Проверка: √(5,08² + 11,97²) = √(25,81 + 143,28) = √169,09 ≈ 13 ✓

Частые ошибки при нахождении сторон треугольника ABC

Неправильное соответствие сторон и углов. Сторона a всегда лежит против угла A. Перепутав пары, получите неверный результат.
Градусы и радиианы. Калькуляторы и программные среды часто работают в радианах. Если вводите углы в градусах, убедитесь, что выбран соответствующий режим.
Теорема Пифагора в непрямоугольном треугольнике. Формула c² = a² + b² работает только при прямом угле. Для остальных треугольников нужна теорема косинусов.
Случай SSA (неединственность). Если даны две стороны и угол, не содержащийся между ними, треугольников может быть два – проверяйте оба варианта.
Угол ≥ 180°. Сумма углов треугольника строго равна 180°. Если в задаче получается сумма больше или равная 180°, в условии допущена ошибка.

Часто задаваемые вопросы

Как найти сторону треугольника, если известны два угла и одна сторона?

Используйте теорему синусов: разделите известную сторону на синус противолежащего угла, затем умножьте результат на синус искомого угла. Сначала найдите третий угол, вычтя сумму двух известных из 180°.

Чем отличается теорема синусов от теоремы косинусов?

Теорема синусов связывает стороны с противолежащими углами через синусы и применяется, когда известны два угла и сторона или две стороны и угол напротив одной из них. Теорема косинусов используется при двух сторонах и угле между ними.

Можно ли найти стороны треугольника только по трём углам?

Нет. По трём углам определяется только форма треугольника (подобие), но не его размеры. Для вычисления длин сторон необходим хотя бы один линейный элемент – сторона, медиана, высота или радиус описанной окружности.

Как найти сторону прямоугольного треугольника?

Если известны два катета – примените теорему Пифагора: c² = a² + b². Если известен катет и гипотенуза – найдите второй катет: a = √(c² − b²). При известном катете и остром угле используйте тригонометрические соотношения.

Что такое случай SSA и почему он опасен?

Случай SSA – это когда известны две стороны и угол, не содержащийся между ними. Здесь треугольник может быть неединственным: при определённых значениях существуют два различных треугольника с одинаковыми данными, а при других – ни одного.

Как обозначаются стороны треугольника ABC?

Сторона a = BC лежит против угла A, сторона b = AC – против угла B, сторона c = AB – против угла C. Каждая сторона получает букву того угла, которому она противолежит.