Найдите сторону AD: формулы и способы решения
Фраза «найдите сторону AD» встречается в десятках разных задач: AD может быть основанием трапеции, стороной параллелограмма, катетом прямоугольного треугольника или отрезком между двумя точками на плоскости. Метод решения каждый раз свой – ниже собраны все основные случаи с формулами и числовыми примерами.
Как найти сторону AD – выбор метода
Первый шаг – определить тип фигуры и доступные данные. Это сразу указывает на нужную формулу.
| Фигура | Известные данные | Формула для AD |
|---|---|---|
| Параллелограмм | BC (противоположная сторона) | AD = BC |
| Прямоугольник | Диагональ d, сторона AB | AD = √(d² − AB²) |
| Прямоугольник | Периметр P, сторона AB | AD = P/2 − AB |
| Трапеция (общий случай) | BC, углы ∠A и ∠D, боковые AB, CD | AD = BC + AB·cos∠A + CD·cos∠D |
| Равнобедренная трапеция | BC, AB = CD, угол ∠A | AD = BC + 2·AB·cos∠A |
| Прямоугольная трапеция | BC, AB ⊥ AD, боковая CD | AD = BC + √(CD² − AB²) |
| Треугольник ABD | AB, BD, угол ∠ABD | AD² = AB² + BD² − 2·AB·BD·cos∠ABD |
| Координатная плоскость | A(x₁, y₁), D(x₂, y₂) | AD = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) |
Сторона AD в параллелограмме
В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны, поэтому:
AD = BC
Если BC неизвестна, но даны обе диагонали d₁, d₂ и сторона AB, используют тождество параллелограмма:
d₁² + d₂² = 2·(AB² + AD²)
Отсюда: AD = √((d₁² + d₂²) / 2 − AB²)
Пример. ABCD – параллелограмм, AB = 6, d₁ = 10, d₂ = 8.
AD = √((100 + 64) / 2 − 36) = √(82 − 36) = √46 ≈ 6,78.
Сторона AD в прямоугольнике
В прямоугольнике ABCD все углы прямые. Диагональ d, сторона AB и сторона AD образуют прямоугольный треугольник:
AD = √(d² − AB²)
Пример. Прямоугольник ABCD, диагональ BD = 13, AB = 5.
AD = √(169 − 25) = √144 = 12.
Если задан периметр P и сторона AB: AD = P/2 − AB.
Как найти основание AD в трапеции ABCD?
Это самый распространённый тип задач. В трапеции ABCD по умолчанию: BC – верхнее (меньшее) основание, AD – нижнее (большее) основание, AB и CD – боковые стороны.
Стандартный приём – опустить из вершин B и C перпендикуляры BH₁ и CH₂ на прямую AD. Образуется прямоугольник BCH₂H₁ шириной BC и два прямоугольных треугольника по краям.
Общая формула:
AD = BC + AB·cos∠A + CD·cos∠D
Равнобедренная трапеция (AB = CD, ∠A = ∠D)
AD = BC + 2·AB·cos∠A
Пример. BC = 6, AB = CD = 5, ∠A = ∠D = 60°.
AD = 6 + 2·5·cos60° = 6 + 2·5·0,5 = 6 + 5 = 11.
Прямоугольная трапеция (∠A = 90°)
Боковая сторона AB перпендикулярна основанию AD, то есть AB – это и есть высота. Горизонтальная проекция CD:
AD = BC + √(CD² − AB²)
Пример. BC = 4, AB = 3, CD = 5.
√(25 − 9) = √16 = 4. AD = 4 + 4 = 8.
Через высоту и площадь трапеции
Если дана площадь S и высота h:
AD = 2S / h − BC
Сторона AD в треугольнике ABD
Когда вершина D стоит отдельно – на продолжении стороны, на высоте или в произвольном месте – задача сводится к нахождению стороны треугольника ABD.
Теорема косинусов
Когда известны стороны AB, BD и угол ∠ABD между ними:
AD² = AB² + BD² − 2·AB·BD·cos∠ABD
Пример. AB = 7, BD = 9, ∠ABD = 120°.
AD² = 49 + 81 − 2·7·9·(−0,5) = 130 + 63 = 193. AD = √193 ≈ 13,9.
Внимание: cos120° = −0,5, поэтому двойной минус даёт плюс.
Теорема синусов
Когда известна одна сторона и два угла треугольника:
AD / sin∠ABD = AB / sin∠ADB = BD / sin∠BAD
Как найти сторону AD по координатам?
Если точки A и D заданы координатами, длина отрезка AD – это расстояние между двумя точками:
AD = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Калькулятор выше вычисляет длину отрезка AD по координатам двух точек. Достаточно ввести x₁, y₁ для точки A и x₂, y₂ для точки D.
Пример. A(2, 1), D(8, 9).
AD = √((8−2)² + (9−1)²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Если фигура задана на координатной сетке, этот метод работает для любого типа четырёхугольника и не требует знания углов или дополнительных свойств.
Частые ошибки
- **