Найдите производную x

Когда в задаче написано «найдите производную x», речь идёт о скорости изменения функции по отношению к аргументу. Производная от x равна 1, но на практике обычно ищут производные более сложных выражений: x², √x, 1/x, sin(x) и других. Ниже – правила, таблица и примеры, чтобы решать без ошибок.

Как найти производную x: базовые правила

Производная функции f(x) обозначается f′(x) или df/dx. Чтобы находить производные любых выражений с x, достаточно знать 7 правил и таблицу основных производных.

Правило степенной функции

Для f(x) = xⁿ производная равна:

f′(x) = n · xⁿ⁻¹

Показатель степени выносится вперёд, сама степень уменьшается на 1.

Примеры:

• (x³)′ = 3x²
• (x⁵)′ = 5x⁴
• (x)′ = 1 · x⁰ = 1

Правило константы

Производная числа (константы) всегда равна нулю:

(C)′ = 0

Пример: (5)′ = 0

Сумма и разность

(f + g)′ = f′ + g′
(f − g)′ = f′ − g′

Пример: (x³ + 2x)′ = 3x² + 2

Произведение

(f · g)′ = f′ · g + f · g′

Пример: (x² · sin(x))′ = 2x · sin(x) + x² · cos(x)

Частное

(f / g)′ = (f′ · g − f · g′) / g²

Пример: (x / (x + 1))′ = (1 · (x + 1) − x · 1) / (x + 1)² = 1 / (x + 1)²

Сложная функция (правило цепочки)

Если функция записана как f(g(x)):

(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)

Пример: (sin(x²))′ = cos(x²) · 2x

Таблица производных основных функций

Примеры нахождения производной x в степенях и выражениях

Пример 1: Найдите производную x²

(x²)′ = 2 · x²⁻¹ = 2x

Пример 2: Найдите производную √x

Корень – это степень 1/2:

(√x)′ = (x^(1/2))′ = 1/2 · x^(−1/2) = 1 / (2√x)

Пример 3: Найдите производную 1/x

Единица, делённая на x – это x в степени −1:

(1/x)′ = (x⁻¹)′ = −1 · x⁻² = −1 / x²

Пример 4: Найдите производную x³ + 5x − 7

Применяем правила суммы и степенной функции:

(x³ + 5x − 7)′ = 3x² + 5 · 1 − 0 = 3x² + 5

Пример 5: Найдите производную e^(2x)

Сложная функция – внешняя экспонента, внутренний множитель 2x:

(e^(2x))′ = e^(2x) · 2 = 2e^(2x)

Пример 6: Найдите производную ln(x³)

Цепочное правило:

(ln(x³))′ = (1 / x³) · 3x² = 3 / x

Частные случаи и типичные ошибки

Дробная степень. Выражения вроде x^(2/3) дифференцируются по тому же правилу: (x^(2/3))′ = 2/3 · x^(−1/3).

Отрицательная степень. Функция 1/x⁴ = x⁻⁴. Производная: (x⁻⁴)′ = −4x⁻⁵ = −4 / x⁵.

Корень в знаменателе. Выражение 1/√x = x^(−1/2). Производная: (x^(−1/2))′ = −1/2 · x^(−3/2) = −1 / (2x√x).

Производная произведения – не произведение производных. Правило: (f · g)′ ≠ f′ · g′. Верно: (f · g)′ = f′ · g + f · g′.

Производная частного – не частное производных. Используйте формулу с числителем f′g − fg′ и знаменателем g².

Как проверить результат

После ручного расчёта подставьте конкретное значение x и сравните:

1. Вычислите f(x₀) и f(x₀ + h) при малом h (например, 0,001).
2. Найдите отношение (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h.
3. Подставьте x₀ в найденную производную f′(x₀).

Если числа совпадают с точностью до 2–3 знаков – решение верное.

Статья носит справочный характер. При подготовке к экзаменам сверяйтесь с учебниками по математическому анализу.