Найдите объем правильной шестиугольной призмы: Формулы и Расчет

Задачи из раздела стереометрии с формулировкой «найдите объем правильной шестиугольной…» чаще всего подразумевают призму или пирамиду. Эти фигуры широко распространены не только в учебниках геометрии, но и в инженерном деле, архитектуре (например, знаменитые соты) и производстве крепежных элементов (гайки, болты).

Ниже представлено полное руководство по вычислению объема таких тел с необходимыми формулами, свойствами основания и практическими примерами.

Что такое правильная шестиугольная призма

Правильная шестиугольная призма — это многогранник, у которого:

1. Основаниями являются два равных правильных шестиугольника (все стороны и углы равны).
2. Основания параллельны друг другу.
3. Боковые грани являются прямоугольниками и перпендикулярны основаниям (это свойство «прямой» призмы, которое подразумевается в определении «правильной»).

Если же речь идет о пирамиде, то у нее одно основание (правильный шестиугольник), а все боковые грани сходятся в одной вершине над центром основания.

Формулы объема правильной шестиугольной призмы

Чтобы найти объем любой призмы, используется фундаментальный закон стереометрии: объем равен произведению площади основания на высоту.

Основная формула через сторону основания

Самый распространенный вариант задачи — когда известна длина стороны основания ($a$) и высота призмы ($h$).

1. Площадь основания ($S_{осн}$) правильного шестиугольника состоит из 6 равносторонних треугольников. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
2. Суммарная площадь основания: $$S_{осн} = 6 \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \approx 2.598 a^2$$
3. Итоговая формула объема призмы: $$V = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 h$$

Где:

• $V$ — объем;
• $a$ — сторона шестиугольника;
• $h$ — высота призмы (длина бокового ребра).

Формула через радиус описанной окружности

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности ($R$) равен стороне ($a$).

Следовательно, формула остается прежней, просто $a$ заменяется на $R$:

Формула через радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности ($r$) — это расстояние от центра до середины стороны (апофема основания). Связь между $r$ и стороной $a$:

Подставив это в формулу объема, получаем выражение через $r$:

Как найти объем правильной шестиугольной пирамиды

Если в задаче требуется найти объем пирамиды, формула меняется на коэффициент $\frac{1}{3}$.

Для правильной шестиугольной пирамиды формула через сторону основания ($a$) и высоту ($h$) выглядит так:

Важно: Высота $h$ в пирамиде — это перпендикуляр, опущенный из вершины в центр основания, а не длина бокового ребра или апофема боковой грани.

Свойства правильного шестиугольника в основании

Для успешного решения задач важно понимать геометрию основания. Правильный шестиугольник обладает уникальными свойствами, которые упрощают вычисления:

• Разбиение на треугольники: Если соединить центр (точку пересечения больших диагоналей) со всеми вершинами, получится 6 абсолютно одинаковых равносторонних треугольников.
• Большая диагональ ($d$): Проходит через центр и соединяет противоположные вершины. Она равна двум сторонам: $d = 2a$.
• Малая диагональ: Соединяет вершины через одну. Она перпендикулярна стороне и равна $a\sqrt{3}$ (или $2r$).
• Углы: Все внутренние углы шестиугольника равны $120^\circ$.

Эти свойства часто нужны, чтобы найти сторону $a$, если даны только диагонали или радиусы.

Алгоритм решения задач

Чтобы не допустить ошибку при расчете, следуйте этому алгоритму:

1. Определите тип фигуры. Внимательно прочитайте условие: призма или пирамида?
2. Выпишите известные данные. Сторона, высота, площадь, диагональ, радиус.
3. Приведите единицы измерения. Если высота в метрах, а сторона в сантиметрах, переведите всё в одну систему (например, в метры).
4. Найдите сторону основания $a$. Если она не дана, выразите её через радиус, периметр или площадь.
   • Периметр $P = 6a \Rightarrow a = P/6$.
   • $S_{осн}$ дана $\Rightarrow a = \sqrt{\frac{2S}{3\sqrt{3}}}$.
5. Вычислите площадь основания. Используйте формулу $S = 2.598 a^2$.
6. Умножьте на высоту. Для призмы просто умножьте, для пирамиды — разделите результат на 3.

Примеры решения задач

Разберем типовые случаи, которые встречаются в экзаменах и в жизни.

Пример 1: Классическая призма

Условие: Найдите объем правильной шестиугольной призмы, если сторона ее основания равна 4 см, а боковое ребро равно 10 см.

Решение: Так как призма правильная, боковое ребро является ее высотой $h = 10$ см.

1. Находим площадь основания по стороне $a=4$: $$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 16 = 24\sqrt{3} \text{ см}^2$$
2. Находим объем: $$V = S_{осн} \times h = 24\sqrt{3} \times 10 = 240\sqrt{3} \text{ см}^3$$

Ответ: $240\sqrt{3} \approx 415.69$ см³.

Пример 2: Шестиугольная гайка (Призма через диаметр)

Условие: Латунная гайка имеет форму правильной шестиугольной призмы. Расстояние «под ключ» (между параллельными гранями, это удвоенный радиус вписанной окружности $2r$) равно 20 мм. Высота гайки 8 мм. Найти объем заготовки (без учета внутреннего отверстия).

Решение:

1. Расстояние между гранями — это $2r = 20$ мм, значит $r = 10$ мм.
2. Выражаем объем через $r$: $$V = 2\sqrt{3} r^2 h$$
3. Подставляем числа: $$V = 2\sqrt{3} \times 10^2 \times 8 = 2\sqrt{3} \times 100 \times 8 = 1600\sqrt{3} \text{ мм}^3$$

Ответ: $\approx 2771$ мм³.

Пример 3: Пирамида

Условие: Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, а объем равен $6\sqrt{3}$. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

1. Используем формулу объема пирамиды: $V = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 h$.
2. Подставим известные значения: $$6\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2^2 \times h$$
3. Упрощаем уравнение: $$6\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 \times h$$ $$6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} h$$
4. Делим обе части на $2\sqrt{3}$: $$h = 3$$

Ответ: Высота равна 3.

Практическое применение

Понимание того, как найти объем шестиугольной фигуры, полезно не только на уроках математики.

• Строительство и дизайн: Шестиугольная плитка, беседки, колонны — расчет объема необходим для закупки бетона или других материалов.
• Упаковка: Коробки в форме шестиугольной призмы часто используются для подарков или кондитерских изделий; расчет объема помогает оптимизировать логистику.
• Инженерия: Расчет массы метизов (болтов, гаек) производится через их объем и плотность материала (Mass = Volume × Density).

Правильная шестиугольная призма — одна из самых эффективных природных форм, обеспечивающая максимальную прочность и вместимость при минимуме материала стенок (принцип пчелиных сот). Знание формул её расчета — ключ к решению множества прикладных задач.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.