Обновлено: 8 мая 2026 г.

Найдите наименьшее значение функции

В задачах ЕГЭ и контрольных по математическому анализу регулярно встречается формулировка «найдите наименьшее значение функции» на заданном отрезке или интервале. Решается она по чёткому алгоритму через производную – без угадываний и подбора.

Что значит «найти наименьшее значение функции»

Наименьшее значение функции f(x) на множестве X – это такое число m, что f(x) ≥ m для всех x из X, причём m достигается хотя бы в одной точке. Обозначается min f(x).

Важно различать два понятия:

Точка минимума – значение аргумента x₀, в котором функция принимает наименьшее значение
Наименьшее значение – само число f(x₀)

В ответе задачи требуется именно число – значение функции, а не точка.

Алгоритм поиска наименьшего значения на отрезке [a; b]

Для непрерывной на отрезке функции наименьшее значение всегда существует (теорема Вейерштрасса). Его ищут так:

Найти производную f′(x)
Решить уравнение f′(x) = 0 – получить критические точки
Отобрать те критические точки, которые лежат внутри отрезка [a; b]
Вычислить значения функции в отобранных точках и на концах отрезка: f(a) и f(b)
Из всех полученных чисел выбрать наименьшее

Этот метод работает, потому что наименьшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в стационарной точке (где f′ = 0), либо на границе отрезка.

Пример 1. Многочлен на отрезке

Найдём наименьшее значение функции y = x³ − 3x² + 2 на отрезке [−1; 3].

Производная: y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2).

Критические точки: y′ = 0 при x = 0 и x = 2. Обе принадлежат отрезку [−1; 3].

Значения:

y(−1) = −1 − 3 + 2 = −2
y(0) = 2
y(2) = 8 − 12 + 2 = −2
y(3) = 27 − 27 + 2 = 2

Ответ: наименьшее значение равно −2.

Пример 2. Функция с логарифмом

Найдём наименьшее значение функции y = x² − 18·ln x + 7 на отрезке [1; 6].

Производная: y′ = 2x − 18/x = (2x² − 18)/x.

Критические точки: 2x² − 18 = 0, x² = 9, x = ±3. На отрезке [1; 6] лежит только x = 3.

Анализ знаков: при x < 3 (например, x = 1) производная отрицательна, при x > 3 (например, x = 4) – положительна. Значит, x = 3 – точка минимума.

Значение в точке минимума: y(3) = 9 − 18·ln 3 + 7 = 16 − 18·ln 3.

В задачах ЕГЭ обычно подбирают условия так, чтобы логарифмы и экспоненты сокращались. Если в условии было бы y = x² − 2·ln x + 7, тогда y(1) = 1 − 0 + 7 = 8.

Как искать наименьшее значение на интервале или всей оси

Если множество X – открытый интервал (a; b), бесконечный луч или вся числовая прямая, теорема Вейерштрасса не гарантирует существование минимума. Тогда:

Найти все критические точки внутри X
Определить характер каждой (точка минимума или максимума) по знакам производной
Сравнить значения функции в точках минимума
Проверить поведение на границах: пределы при x → a, x → b или x → ±∞

Если функция стремится к значению меньше найденного минимума – наименьшего значения не существует.

Частные случаи без производной

Некоторые функции позволяют найти минимум быстрее:

Квадратичная y = ax² + bx + c при a > 0: минимум в вершине x₀ = −b/(2a), значение y₀ = c − b²/(4a)
Линейная комбинация синуса и косинуса y = a·sin x + b·cos x: наименьшее значение равно −√(a² + b²)
Сумма взаимно обратных y = x + k/x при x > 0, k > 0: минимум по неравенству Коши при x = √k, значение 2√k
Показательная y = aᶠ⁽ˣ⁾ при a > 1: минимум совпадает с минимумом f(x); при 0 < a < 1 – с максимумом f(x)
Логарифмическая y = log_a f(x) при a > 1: минимум там же, где минимум f(x), при условии f(x) > 0

Типичные ошибки

Забывают вычислить значения в концах отрезка – теряют ответ
Путают точку минимума и наименьшее значение – пишут x вместо y
Не проверяют принадлежность критической точки отрезку
На интервале считают, что минимум обязательно есть
При логарифме или корне не учитывают область определения функции

Каким H2 ответить на вопрос «как быстро решать такие задачи на ЕГЭ»

В задании 12 ЕГЭ по математике профильного уровня структура повторяется: даны функция и отрезок, требуется наименьшее или наибольшее значение. Достаточно автоматизировать четыре шага: производная, корни производной, отбор корней, подстановка. На решение уходит 5–7 минут, если уверенно дифференцировать сложную функцию и считать в столбик.

Материал носит образовательный характер; для контрольных и экзаменов сверяйтесь с действующими методическими рекомендациями.

Часто задаваемые вопросы

Чем отличается точка минимума от наименьшего значения?

Точка минимума – это значение аргумента x, при котором функция принимает локально наименьшее значение. Наименьшее значение функции – это само число y, то есть результат подстановки точки минимума в функцию. На отрезке наименьшее значение может достигаться и на его границе, а не только в точке минимума.

Может ли функция не иметь наименьшего значения?

Да. Например, функция y = x на всей числовой прямой неограниченно убывает влево. Также наименьшего значения может не быть на открытом интервале, если оно «достигается» на границе, не входящей в область определения. На замкнутом отрезке непрерывная функция всегда имеет наименьшее значение.

Что делать, если производная не равна нулю ни в одной точке отрезка?

Это значит, что функция монотонна на отрезке. Если производная положительна – функция возрастает, и наименьшее значение достигается в левом конце отрезка. Если отрицательна – функция убывает, и минимум находится в правом конце.

Как проверить, что найденная точка – именно минимум, а не максимум?

Используйте знаки производной слева и справа от критической точки. Если производная меняет знак с минуса на плюс – это точка минимума. Альтернатива – вторая производная: если f″(x₀) > 0, в точке x₀ минимум.

Нужно ли проверять граничные точки отрезка?

Обязательно. На замкнутом отрезке наименьшее значение ищется среди значений функции в критических точках внутри отрезка и на его концах. Граничные точки часто дают именно минимум, особенно если производная не обращается в ноль внутри отрезка.

Можно ли решать без производной?

Иногда да: для квадратичной функции минимум – в вершине параболы при a > 0, для y = a·sin x + b·cos x – через формулу амплитуды √(a² + b²). Для функций с известным графиком (логарифм, экспонента) минимум определяется по монотонности. Но универсальный способ – через производную.