Найдите член геометрической прогрессии

Допустим, вам нужно узнать 10-й член последовательности 5, 10, 20, 40… Перемножать вручную долго и легко ошибиться. Вместо этого используют всего одну формулу, которая работает для любой геометрической прогрессии. Разберём, как находить любой член без лишних вычислений.

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – числовая последовательность, в которой каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\). Это число называют знаменателем прогрессии.

Основные обозначения:

• \(b_1\) – первый член,
• \(q\) – знаменатель (постоянный множитель),
• \(n\) – номер искомого члена,
• \(b_n\) – n-й член прогрессии.

Пример: 2, 6, 18, 54…

Здесь \(b_1 = 2\), знаменатель \(q = 3\) (потому что \(6/2 = 3\), \(18/6 = 3\)), а четвёртый член \(b_4 = 54\).

Формула n-го члена

Любой член геометрической прогрессии можно найти без перебора всех предыдущих. Для этого используют формулу:

где \(n \ge 1\) – номер члена, который ищете. Это основное уравнение: зная первый член и знаменатель, вы сразу получаете \(b*{10}\), \(b*{100}\) или любой другой.

Базовый пример

Найдём 6-й член прогрессии: \(b_1 = 4\), \(q = 2\).

Подставляем в формулу:

\(b_6 = 4 \cdot 2^{\,6-1} = 4 \cdot 2^{5} = 4 \cdot 32 = 128\).

Если нужно ускорить расчёт – воспользуйтесь калькулятором ниже. Укажите \(b_1\), \(q\) и \(n\), и он мгновенно выдаст результат.

Примеры расчёта для разных значений q

Случай 1: положительный целый знаменатель

Последовательность: 3, 12, 48, …
\(b_1 = 3\), \(q = 4\). Найти \(b_5\).

\(b_5 = 3 \cdot 4^{4} = 3 \cdot 256 = 768\).

Случай 2: отрицательный знаменатель

Значения: 5, −10, 20, −40, …
\(b_1 = 5\), \(q = -2\). Найти \(b_7\).

\(b_7 = 5 \cdot (-2)^{6} = 5 \cdot 64 = 320\). Обратите внимание: из-за отрицательного основания знак меняется в зависимости от чётности степени.

Случай 3: дробный знаменатель

Дано: 8, 4, 2, …
Здесь \(b_1 = 8\), \(q = 0{,}5\). Найти \(b_9\).

\(b_9 = 8 \cdot (0{,}5)^{8} = 8 \cdot 0{,}00390625 = 0{,}03125\).

Как найти другие параметры прогрессии

Иногда известны не первый член и знаменатель, а другие пары значений. Из основной формулы можно вывести:

• Первый член, если даны \(b_n\), \(q\) и \(n\):
  \(b_1 = \dfrac{b_n}{q^{\,n-1}}\).

• Знаменатель по двум членам \(b_m\) и \(b_k\) (при \(m > k\)):
  \(q = \sqrt[m-k]{\dfrac{b_m}{b_k}}\).

• Номер члена, если известны \(b_1\), \(q\) и само значение \(b_n\):
  \(n = \log_q\left(\dfrac{b_n}{b_1}\right) + 1\).
  Это выражение определено при \(q > 0\), \(q \neq 1\) и \(b_n / b_1 > 0\).

Во всех случаях достаточно чётко представлять исходную формулу – остальное сводится к решению простого уравнения. Если сомневаетесь в актуальности величины (например, налоговых ставок), уточните данные на официальных источниках – математическая часть от этого не меняется.