Найдите боковую сторону и площадь

Чтобы найти боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, достаточно знать два параметра: основание, высоту, угол или одну из боковых сторон. Ниже собраны все рабочие формулы и примеры, а интерактивный калькулятор выполнит расчёт за вас.

Что такое равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. Их называют боковыми сторонами, третью сторону – основанием. Углы при основании всегда равны.

Высота, проведённая из вершины к основанию, обладает сразу тремя свойствами: она является медианой (делит основание пополам) и биссектрисой. Это ключевой факт для всех расчётов.

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника?

Способ зависит от того, какие данные известны. Рассмотрим четыре основных варианта.

Известны основание и высота

Самый частый случай. Высота делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника, в каждом из которых гипотенуза – боковая сторона b, один катет – высота h, второй – половина основания a/2.

По теореме Пифагора:

b = √(h² + (a/2)²)

Пример. Основание a = 12 см, высота h = 8 см.
Половина основания: 12 / 2 = 6 см.
Боковая сторона: b = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 см.

Калькулятор выше находит боковую сторону и площадь автоматически при любом наборе исходных данных.

Известны основание и угол при основании

Если задан угол α между основанием и боковой стороной, сначала находят высоту через тангенс:
h = (a/2) · tg(α)

Затем боковую сторону можно вычислить через косинус того же угла:
b = (a/2) / cos(α)

Пример. Основание a = 20 см, угол α = 50°.
Половина основания 10 см. Высота: h = 10 · tg(50°) ≈ 10 · 1,1918 = 11,92 см.
Боковая сторона: b = 10 / cos(50°) ≈ 10 / 0,6428 ≈ 15,56 см.

Известны боковая сторона и угол при вершине

Угол при вершине β позволяет найти основание и высоту через синус и косинус половины этого угла:

a = 2 · b · sin(β/2)
h = b · cos(β/2)

Площадь при этом удобно считать прямо через две стороны и угол между ними (см. далее).

Пример. Боковая сторона b = 13 см, угол β = 40°.
β/2 = 20°. Основание: a = 2 · 13 · sin(20°) ≈ 26 · 0,3420 ≈ 8,89 см.
Высота: h = 13 · cos(20°) ≈ 13 · 0,9397 ≈ 12,22 см.

Известны площадь и основание

Если даны площадь S и основание a, сначала выражают высоту из формулы площади S = (a · h)/2:
h = 2S / a

Затем подставляют h в формулу Пифагора, как в первом варианте:
b = √((2S/a)² + (a/2)²)

Пример. Площадь S = 84 см², основание a = 21 см.
Высота: h = 2·84 / 21 = 8 см. Половина основания 10,5 см.
Боковая сторона: b = √(8² + 10,5²) = √(64 + 110,25) = √174,25 ≈ 13,2 см.

Как вычислить площадь равнобедренного треугольника?

Площадь можно найти несколькими способами в зависимости от исходных данных.

Через основание и высоту

Базовая формула, работающая для любого треугольника:

S = (a · h) / 2

Через две боковые стороны и угол при вершине

Если известны две равные стороны b и угол между ними β, площадь считают по формуле для любого треугольника через синус угла:

S = (1/2) · b² · sin(β)

Через основание и боковую сторону

Когда высота не дана, её можно найти через теорему Пифагора: h = √(b² – (a/2)²). Тогда площадь:

S = (a / 2) · √(b² – (a/2)²)

Формула Герона

Подходит, если известны все три стороны: основание a и две боковые стороны b. Полупериметр p = (a + 2b) / 2. Тогда:

S = √(p · (p – a) · (p – b) · (p – b))

Пример. Основание 10 см, боковая сторона 13 см. Полупериметр: p = (10 + 26)/2 = 18 см.
Площадь: S = √(18 · 8 · 5 · 5) = √(18 · 200) = √3600 = 60 см².

Типовые задачи

Задача 1. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая сторона – 17 см. Найдите площадь и высоту.
Решение. Половина основания 8 см. Высота: h = √(17² – 8²) = √(289 – 64) = √225 = 15 см. Площадь: S = (16 · 15) / 2 = 120 см².

Задача 2. Площадь равнобедренного треугольника 48 см², высота 6 см. Определите боковую сторону.
Решение. Из S = (a·h)/2 находим основание: a = 2S / h = 96 / 6 = 16 см. Половина основания 8 см. Боковая сторона: b = √(6² + 8²) = √100 = 10 см.

Все вычисления носят справочный характер. При ответственных расчётах проверяйте исходные данные и используемые формулы.