Как найти биссектрису треугольника

7 мая 2026 г.

Для решения задачи «найдите биссектрису треугольника ABC» необходимо определить, какие параметры фигуры вам уже даны. Длина биссектрисы вычисляется через стороны, углы или отрезки, на которые она делит противоположную сторону.

Способ расчёта

По трём сторонам По двум сторонам и углу Формула Стюарта

Стороны треугольника

Сторона a Прилежащая сторона, образующая угол

Сторона b Прилежащая сторона, образующая угол

Сторона c Сторона, к которой проведена биссектриса

Используемые формулы

Через стороны: l_c = √(ab(a+b+c)(a+b−c)) / (a+b)

Через полупериметр: l_c = (2/(a+b)) · √(ab · p(p−c)), где p = (a+b+c)/2

Через угол: l_c = (2ab · cos(γ/2)) / (a+b)

Формула Стюарта: l_c² = ab − mn

Свойство: m / n = a / b, где m + n = c

Информация носит справочный характер и предназначена для образовательных целей при решении геометрических задач.

Формулы через стороны треугольника

Если известны длины всех сторон треугольника ($a$, $b$, $c$), где $c$ – сторона, к которой проведена биссектриса $l_c$, используется классическая формула:

$$l_c = \frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}$$

Или, выразив через полупериметр ($p = \frac{a+b+c}{2}$):

$$l_c = \frac{2}{a+b} \sqrt{ab \cdot p(p-c)}$$

Где:

$a$, $b$ – стороны, образующие угол, из которого выходит биссектриса.
$c$ – сторона, к которой проведена биссектриса.
$p$ – полупериметр.

Вычисление через угол треугольника

Если известен угол $\gamma$, из вершины которого выходит биссектриса, и прилежащие стороны $a$ и $b$, расчет можно провести через косинусы:

$$l_c = \frac{2ab \cdot \cos(\gamma/2)}{a+b}$$

Этот метод удобен, когда значение угла известно или легко вычисляется из условий задачи.

Свойство биссектрисы и пропорциональные отрезки

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки $m$ и $n$, которые пропорциональны прилежащим сторонам. Это свойство часто помогает, если неизвестна длина самой биссектрисы, но известны отношения сторон:

$$\frac{m}{n} = \frac{a}{b}$$

Где $m$ прилегает к стороне $a$, а $n$ – к стороне $b$. Сумма $m + n$ всегда равна длине всей стороны $c$.

Формула Стюарта

Если вы знаете длины отрезков $m$ и $n$, на которые биссектриса делит сторону $c$, саму длину биссектрисы $l_c$ можно найти через стороны $a$ и $b$ по теореме Стюарта:

$$l_c^2 = ab - mn$$

Это одна из самых коротких формул, если задача уже содержит данные о разбиении стороны.

Практические советы для решения

Проверьте данные. Если известны только углы, используйте теорему синусов, чтобы сначала выразить стороны через одну из них, а затем подставьте полученные значения в формулу длины биссектрисы.
Сравнение. Помните, что длина биссектрисы всегда меньше сторон, образующих этот угол, и всегда больше высоты, опущенной из той же вершины.
Прямоугольный треугольник. Если треугольник прямоугольный и биссектриса проведена из прямого угла, используйте частный случай формулы, упрощающий расчет за счет того, что $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для быстрых вычислений используйте калькулятор, представленный выше. Он автоматически подставит значения сторон и углов в нужные формулы, исключая риск арифметической ошибки в расчетах.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти биссектрису, если известны только стороны треугольника?

Да, для этого существует формула через полупериметр или формула Стюарта. Вы можете найти длину биссектрисы, зная длины всех трёх сторон треугольника, не прибегая к вычислению углов или высот.

В чем разница между биссектрисой угла и отрезком биссектрисы?

Биссектриса угла – это луч, который делит угол пополам и уходит в бесконечность. В задачах «найдите биссектрису» обычно требуется вычислить длину отрезка, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной.

Какое главное свойство биссектрисы треугольника?

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Это соотношение позволяет легко находить части стороны, если известна длина биссектрисы или всего треугольника.

Что делать, если треугольник прямоугольный?

Для прямоугольного треугольника расчет биссектрисы упрощается. Можно воспользоваться общей теоремой косинусов или специальными формулами, учитывающими прямой угол, чтобы найти длину отрезка быстрее, чем в произвольном треугольнике.