Множители числа

Что такое множители числа

Множители (делители) числа — это все натуральные числа, на которые данное число делится без остатка. Каждое натуральное число имеет как минимум два множителя: единицу и само себя.

Формальное определение: число a является множителем числа n, если существует целое число b, такое что n = a × b.

Например, для числа 12:

• 12 ÷ 1 = 12 (остаток 0) → 1 — множитель
• 12 ÷ 2 = 6 (остаток 0) → 2 — множитель
• 12 ÷ 3 = 4 (остаток 0) → 3 — множитель
• 12 ÷ 4 = 3 (остаток 0) → 4 — множитель
• 12 ÷ 5 = 2 (остаток 2) → 5 НЕ множитель
• 12 ÷ 6 = 2 (остаток 0) → 6 — множитель
• 12 ÷ 12 = 1 (остаток 0) → 12 — множитель

Полный список множителей числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Как пользоваться калькулятором множителей

1. Введите натуральное число (положительное целое больше нуля)
2. Нажмите кнопку «Найти множители» или «Рассчитать»
3. Получите упорядоченный список всех делителей
4. Калькулятор покажет:
   • Все множители числа
   • Количество делителей
   • Признак простого/составного числа
   • Сумму всех делителей (для некоторых калькуляторов)

Калькулятор работает для чисел любой разумной величины, автоматически оптимизирует вычисления для больших значений.

Алгоритм нахождения множителей

Метод полного перебора

Самый простой способ — проверить все числа от 1 до n:

для i от 1 до n:
    если n % i == 0:
        i — множитель

Недостаток: медленный для больших чисел (сложность O(n)).

Оптимизированный метод

Достаточно проверить числа только до √n:

для i от 1 до √n:
    если n % i == 0:
        i — множитель
        n/i — также множитель

Почему это работает: множители идут парами. Если a × b = n и a ≤ b, то a ≤ √n ≤ b. Проверив a, автоматически находим b = n/a.

Пример для n = 36:

• √36 = 6, проверяем числа от 1 до 6
• i = 1: 36/1 = 36 → пара (1, 36)
• i = 2: 36/2 = 18 → пара (2, 18)
• i = 3: 36/3 = 12 → пара (3, 12)
• i = 4: 36/4 = 9 → пара (4, 9)
• i = 6: 36/6 = 6 → пара (6, 6) — особый случай

Множители: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Сложность: O(√n) — в тысячи раз быстрее для больших чисел.

Типы чисел по количеству множителей

Простые числа

Имеют ровно два множителя: 1 и само число.

Примеры: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…

Число 7: множители — 1, 7 (всего 2).

Составные числа

Имеют больше двух множителей.

Примеры: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20…

Число 18: множители — 1, 2, 3, 6, 9, 18 (всего 6).

Единица

Особое число: имеет один множитель — само себя.

Число 1: множитель — 1 (всего 1).

По соглашению, единица не считается ни простым, ни составным числом.

Свойства множителей

1. Минимальный множитель любого натурального числа — 1
2. Максимальный множитель — само число
3. Количество множителей всегда конечно
4. Если a — множитель n, то n/a — тоже множитель
5. У простого числа p: множители — 1 и p
6. У степени простого числа p^k: множители — 1, p, p², …, p^k

Формула количества делителей

Если известно каноническое разложение числа на простые множители:

n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ

Количество делителей:

τ(n) = (a₁ + 1) × (a₂ + 1) × … × (aₖ + 1)

Пример для 72:

• 72 = 2³ × 3²
• τ(72) = (3 + 1) × (2 + 1) = 4 × 3 = 12 делителей
• Проверка: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 — действительно 12 штук

Пример для 100:

• 100 = 2² × 5²
• τ(100) = (2 + 1) × (2 + 1) = 3 × 3 = 9 делителей
• Делители: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Сумма множителей

Обозначается σ(n) (сигма-функция).

Формула через каноническое разложение:

σ(n) = [(p₁^(a₁+1) - 1)/(p₁ - 1)] × [(p₂^(a₂+1) - 1)/(p₂ - 1)] × … × [(pₖ^(aₖ+1) - 1)/(pₖ - 1)]

Пример для 12:

• 12 = 2² × 3¹
• σ(12) = [(2³ - 1)/(2 - 1)] × [(3² - 1)/(3 - 1)]
• σ(12) = [7/1] × [8/2] = 7 × 4 = 28
• Проверка: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 ✓

Пример для 15:

• 15 = 3¹ × 5¹
• σ(15) = [(3² - 1)/(3 - 1)] × [(5² - 1)/(5 - 1)]
• σ(15) = [8/2] × [24/4] = 4 × 6 = 24
• Проверка: 1 + 3 + 5 + 15 = 24 ✓

Практические примеры

Число 24

Множители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Разложение: 24 = 2³ × 3

Количество: τ(24) = (3 + 1) × (1 + 1) = 8

Сумма: σ(24) = 7 × 4 = 28 + 12 = 60

Применение: 24 часа в сутках делятся на равные промежутки по 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 часов.

Число 60

Множители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Разложение: 60 = 2² × 3 × 5

Количество: τ(60) = (2 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 12

Сумма: σ(60) = 7 × 4 × 6 = 168

Применение: 60 минут в часе, 60 секунд в минуте — удобно для деления времени на множество равных частей.

Число 100

Множители: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Разложение: 100 = 2² × 5²

Количество: τ(100) = (2 + 1) × (2 + 1) = 9

Сумма: σ(100) = 7 × 31 = 217

Применение: процентные расчёты, денежные единицы (100 копеек в рубле).

Простое число 97

Множители: 1, 97

Количество: τ(97) = 2

Сумма: σ(97) = 98

Свойство: нельзя разделить на равные группы, кроме 1 × 97.

Степень двойки 128

Множители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

Разложение: 128 = 2⁷

Количество: τ(128) = 7 + 1 = 8

Сумма: σ(128) = (2⁸ - 1)/(2 - 1) = 255

Применение: объёмы памяти, разрядность процессоров.

Специальные виды чисел

Совершенные числа

Число, равное сумме своих собственных делителей (всех, кроме самого числа).

Пример — число 6:

• Делители: 1, 2, 3, 6
• Собственные делители: 1, 2, 3
• Сумма: 1 + 2 + 3 = 6 ✓

Пример — число 28:

• Делители: 1, 2, 4, 7, 14, 28
• Собственные: 1, 2, 4, 7, 14
• Сумма: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 ✓

Следующие совершенные числа: 496, 8128, 33 550 336…

Избыточные числа

Сумма собственных делителей больше самого числа.

Пример — число 12:

• Собственные делители: 1, 2, 3, 4, 6
• Сумма: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12

Пример — число 18:

• Собственные делители: 1, 2, 3, 6, 9
• Сумма: 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21 > 18

Недостаточные числа

Сумма собственных делителей меньше самого числа.

Пример — число 8:

• Собственные делители: 1, 2, 4
• Сумма: 1 + 2 + 4 = 7 < 8

Пример — число 10:

• Собственные делители: 1, 2, 5
• Сумма: 1 + 2 + 5 = 8 < 10

Все простые числа и степени простых чисел — недостаточные.

Дружественные числа

Пара чисел, где каждое равно сумме собственных делителей другого.

Пример — 220 и 284:

Число 220:

• Собственные делители: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110
• Сумма: 284

Число 284:

• Собственные делители: 1, 2, 4, 71, 142
• Сумма: 220

220 и 284 — дружественные числа.

Применение множителей

В арифметике

• Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — наибольший общий множитель
• Наименьшее общее кратное (НОК) связано с произведением через НОД
• Сокращение дробей — деление числителя и знаменателя на общий делитель

Пример НОД для 24 и 36:

• Множители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Множители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
• Общие: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• НОД(24, 36) = 12

В алгебре

• Разложение многочленов на множители
• Факторизация алгебраических выражений
• Решение диофантовых уравнений

В теории чисел

• Классификация чисел (простые, составные, совершенные)
• Изучение распределения простых чисел
• Исследование мультипликативных функций

В криптографии

• RSA-шифрование основано на сложности факторизации больших чисел
• Проверка простоты чисел для генерации ключей
• Алгоритмы разложения на множители для взлома шифров

В комбинаторике

• Подсчёт способов разбиения множества
• Число делителей связано с количеством прямоугольников на решётке
• Решётки делителей для частично упорядоченных множеств

В повседневной жизни

• Планирование: разделить 24 человека на равные группы можно 8 способами (по 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 человека)
• Упаковка: 60 предметов можно упаковать в коробки по 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 штук
• Время: 120 минут можно разделить на равные промежутки 16 способами

Таблица множителей для чисел от 1 до 20

Советы по работе с множителями

Для быстрого поиска

1. Всегда начинайте с 1 и самого числа — они точно делители
2. Проверяйте делимость на 2 (чётные числа), затем на 3, 5
3. Используйте признаки делимости:
   • На 2: последняя цифра чётная
   • На 3: сумма цифр делится на 3
   • На 5: последняя цифра 0 или 5
   • На 9: сумма цифр делится на 9
   • На 10: последняя цифра 0
4. Проверяйте только до √n — остальные найдутся автоматически

Для больших чисел

1. Сначала разложите на простые множители — проще найти все делители
2. Используйте формулу количества делителей — не нужно перечислять
3. Применяйте специализированные алгоритмы: метод Ферма, ρ-метод Полларда

Частые ошибки

1. Не забывайте 1 и само число — они всегда делители
2. Не пропускайте √n при чётном квадрате (например, 36: делитель 6 встречается один раз)
3. Не путайте множители с кратными — 12 является множителем 24, но 24 не множитель 12

Связь с другими понятиями

НОД и НОК

НОД (наибольший общий делитель) двух чисел — наибольшее число из общих множителей.

Пример для 18 и 24:

• Множители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• Множители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Общие: 1, 2, 3, 6
• НОД = 6

НОК (наименьшее общее кратное): НОК(a, b) = (a × b) / НОД(a, b)

Для 18 и 24: НОК = (18 × 24) / 6 = 72

Простые множители

Каноническое разложение — представление числа в виде произведения простых чисел в степенях.

Пример: 360 = 2³ × 3² × 5

Все множители 360 получаются комбинациями степеней 2 (от 0 до 3), 3 (от 0 до 2), 5 (от 0 до 1):

• 2⁰ × 3⁰ × 5⁰ = 1
• 2¹ × 3⁰ × 5⁰ = 2
• 2² × 3¹ × 5¹ = 60
• и так далее…

Всего: 4 × 3 × 2 = 24 делителя.

Кратные числа

Кратное числа a — число, которое делится на a без остатка.

Отличие от множителей:

• Множители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (числа ≤ 12)
• Кратные числа 12: 12, 24, 36, 48, 60… (числа ≥ 12)

Множители — “меньшие делители”, кратные — “большие произведения”.

Интересные факты

1. Число 1 — единственное натуральное число с одним делителем
2. Простые числа имеют ровно 2 делителя (поэтому их нельзя разложить дальше)
3. Квадраты простых чисел (4, 9, 25, 49…) имеют по 3 делителя
4. Число 120 — первое, имеющее 16 делителей
5. Факториалы (n!) имеют все числа от 1 до n в качестве делителей
6. Степени двойки (2, 4, 8, 16, 32…) имеют только степени двойки как делители
7. Совершенные числа крайне редки — известно всего 51 (по состоянию на 2023 год)
8. Число 60 — минимальное с 12 делителями, поэтому удобно для измерения времени и углов

Заключение

Понимание множителей числа — фундаментальный навык в математике. Калькулятор множителей позволяет быстро находить все делители любого натурального числа, экономя время на вычислениях и проверке. Знание свойств и методов нахождения делителей применимо в арифметике, алгебре, теории чисел, криптографии и повседневных задачах планирования и распределения.

Основные выводы:

• Множители — числа, на которые исходное число делится без остатка
• Минимум делителей — 2 (у простых чисел), максимум не ограничен
• Для поиска достаточно проверить числа до √n
• Количество и сумма делителей вычисляются через каноническое разложение
• Множители связаны с НОД, НОК, простыми числами и специальными классами чисел

Используйте калькулятор для учёбы, работы, проверки гипотез или просто из любопытства к свойствам чисел.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.