Медианы треугольника равны – найти стороны

Задача нахождения сторон треугольника по его медианам – классический вопрос из планиметрии. Ниже приведены готовые формулы, пример расчёта и онлайн-калькулятор.

Формулы сторон через медианы

Если даны медианы $m_a$, $m_b$ и $m_c$, проведённые к сторонам $a$, $b$ и $c$ соответственно, то стороны вычисляются по формулам:

$$a = \frac{2}{3}\sqrt{2m_b^2 + 2m_c^2 - m_a^2}$$$$b = \frac{2}{3}\sqrt{2m_a^2 + 2m_c^2 - m_b^2}$$$$c = \frac{2}{3}\sqrt{2m_a^2 + 2m_b^2 - m_c^2}$$

Каждая сторона выражается через две медианы, проведённые к другим сторонам, минус квадрат медианы, проведённой к искомой стороне.

Медианы треугольника
К стороне a
К стороне b
К стороне c

Как получить эти формулы

Исходная связь медианы со сторонами треугольника:

$$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$$

Аналогичные выражения для $m_b$ и $m_c$ образуют систему трёх уравнений с тремя неизвестными ($a^2$, $b^2$, $c^2$). Складывая уравнения для $m_b^2$ и $m_c^2$ и подставляя $b^2 + c^2$ из первого, получаем:

$$a^2 = \frac{4}{9}(2m_b^2 + 2m_c^2 - m_a^2)$$

Извлечение корня даёт итоговую формулу. Аналогично выводятся выражения для $b$ и $c$.

Пример расчёта

Дано: $m_a = 6$, $m_b = 8$, $m_c = 10$.

Шаг 1. Найдём сторону $a$:

$$a = \frac{2}{3}\sqrt{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 10^2 - 6^2} = \frac{2}{3}\sqrt{128 + 200 - 36} = \frac{2}{3}\sqrt{292} \approx 11{,}39$$

Шаг 2. Найдём сторону $b$:

$$b = \frac{2}{3}\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 10^2 - 8^2} = \frac{2}{3}\sqrt{72 + 200 - 64} = \frac{2}{3}\sqrt{208} \approx 9{,}61$$

Шаг 3. Найдём сторону $c$:

$$c = \frac{2}{3}\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 - 10^2} = \frac{2}{3}\sqrt{72 + 128 - 100} = \frac{2}{3}\sqrt{100} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$$

Проверка. Подставим $a$, $b$, $c$ в формулу медианы $m_c$:

$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 292 \cdot \frac{4}{9} + 2 \cdot 208 \cdot \frac{4}{9} - 100 \cdot \frac{4}{9}}$$$$= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{9}(584 + 416 - 100)} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4 \cdot 900}{9}} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$$

Результат совпадает с исходной медианой – расчёт верен.

Когда формулы неприменимы

Подкоренное выражение может оказаться отрицательным – это означает, что заданные отрезки не могут быть медианами одного треугольника. Необходимое условие: каждая медиана меньше суммы двух других. Если $m_a \geq m_b + m_c$, треугольник с такими медианами не существует.

Также все медианы должны быть положительными – нулевая длина возможна только у вырожденного треугольника.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти стороны треугольника, если известны только две медианы?
Нет, для однозначного определения всех трёх сторон нужны все три медианы. Две медианы дают бесконечное множество возможных треугольников.
Всегда ли три заданные отрезка могут быть медианами треугольника?
Не всегда. Медианы должны удовлетворять условию: каждая из них меньше суммы двух других. Это необходимое и достаточное условие существования треугольника с заданными медианами.
Как связаны медианы и площадь треугольника?
Площадь треугольника можно найти через медианы по формуле S = (4/3)√(s(s−mₐ)(s−m_b)(s−c)), где s – полусумма медиан. Это аналог формулы Герона.
В каком треугольнике все медианы равны?
Только в равностороннем треугольнике все три медианы равны между собой. В любом другом треугольнике хотя бы две медианы имеют разную длину.
Чему равна медиана в равнобедренном треугольнике?
Медиана, проведённая к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. Две другие медианы равны между собой и рассчитываются по стандартной формуле через стороны.
  1. Найти углы треугольника если стороны равны
  2. Измерь стороны треугольников: формулы и расчёт
  3. Вычислите радиус вписанной окружности – формулы
  4. Как считать длины треугольника: формулы и расчёт
  5. Биссектриса треугольника считать – формулы и калькулятор 2026
  6. Как найти центр описанной около треугольника: формулы и примеры