Матричный калькулятор

Как пользоваться матричным калькулятором

1. Выберите размер матрицы — укажите количество строк и столбцов (например, 3×3 для квадратной матрицы или 2×4 для прямоугольной)
2. Введите элементы — заполните ячейки числами, используя точку или запятую для десятичных дробей
3. Выберите операцию — сложение, вычитание, умножение, транспонирование, нахождение определителя или обратной матрицы
4. Для бинарных операций (сложение, вычитание, умножение) создайте вторую матрицу и заполните её элементы
5. Нажмите “Вычислить” — результат отобразится мгновенно с подробным решением

Полезный совет: сохраняйте промежуточные результаты, копируя матрицы — это ускорит решение сложных задач из нескольких шагов.

Основные операции с матрицами

Сложение и вычитание матриц

Матрицы можно складывать и вычитать, только если они имеют одинаковый размер. Операция выполняется поэлементно.

Пример сложения матриц 2×2:

A = | 2  3 |    B = | 1  4 |
    | 5  1 |        | 2  0 |

A + B = | 2+1  3+4 | = | 3  7 |
        | 5+2  1+0 |   | 7  1 |

Типичная ошибка: попытка сложить матрицы 2×3 и 3×2 невозможна, размеры должны совпадать.

Умножение матриц

Умножение матриц — наиболее сложная операция. Условие: число столбцов первой матрицы = число строк второй.

Формула элемента результата:

c[i,j] = a[i,1]×b[1,j] + a[i,2]×b[2,j] + … + a[i,k]×b[k,j]

Пример умножения 2×3 на 3×2:

A = | 1  2  3 |    B = | 4  5 |
    | 0  1  2 |        | 6  7 |
                        | 8  9 |

A × B = | 1×4+2×6+3×8  1×5+2×7+3×9 | = | 40  46 |
        | 0×4+1×6+2×8  0×5+1×7+2×9 |   | 22  25 |

Важно: умножение матриц некоммутативно, то есть A×B ≠ B×A в большинстве случаев.

Транспонирование матрицы

Транспонирование меняет местами строки и столбцы. Обозначается как A^T.

Пример:

A = | 1  2  3 |    A^T = | 1  4 |
    | 4  5  6 |          | 2  5 |
                          | 3  6 |

Матрица 2×3 превращается в 3×2.

Определитель матрицы

Определитель (det или |A|) определен только для квадратных матриц. Показывает, имеет ли матрица обратную.

Формулы для малых размеров:

Для матрицы 2×2:

| a  b |
| c  d | = ad - bc

Для матрицы 3×3 (правило Саррюса):

| a  b  c |
| d  e  f | = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
| g  h  i |

Пример для 2×2:

| 4  3 |
| 2  1 | = 4×1 - 3×2 = 4 - 6 = -2

Для больших матриц используется метод разложения по строке или столбцу, либо приведение к треугольному виду.

Обратная матрица

Обратная матрица A^(-1) существует, если:

• Матрица квадратная
• Определитель ≠ 0

Свойство: A × A^(-1) = E (единичная матрица)

Формула для матрицы 2×2:

A = | a  b |    A^(-1) = 1/det(A) × |  d  -b |
    | c  d |                        | -c   a |

Пример:

A = | 4  3 |    det(A) = -2
    | 2  1 |

A^(-1) = 1/(-2) × | 1  -3 | = | -0.5   1.5 |
                  |-2   4 |   |  1    -2   |

Проверка: A × A^(-1) = E

Ключевые термины

Практические применения

Решение систем линейных уравнений

Система уравнений записывается в матричном виде A×X = B, где:

• A — матрица коэффициентов
• X — вектор неизвестных
• B — вектор свободных членов

Решение: X = A^(-1) × B

Пример системы:

2x + 3y = 8
5x + 1y = 9

Матричная форма:

| 2  3 | × | x | = | 8 |
| 5  1 |   | y |   | 9 |

Графика и компьютерное зрение

Матрицы используются для трансформаций изображений:

• Поворот — умножение на матрицу поворота
• Масштабирование — диагональная матрица с коэффициентами
• Сдвиг — аффинные преобразования

Экономика и статистика

• Модель Леонтьева (межотраслевой баланс) — расчет выпуска отраслей
• Марковские цепи — прогнозирование состояний систем
• Регрессионный анализ — метод наименьших квадратов использует матричные операции

Советы по работе с матрицами

1. Всегда проверяйте размерности перед операциями — большинство ошибок связаны с несовместимыми размерами
2. Используйте свойства операций:
   • (A + B)^T = A^T + B^T
   • (A × B)^T = B^T × A^T
   • (A^(-1))^T = (A^T)^(-1)
3. Для умножения на число достаточно умножить каждый элемент
4. Проверяйте результаты обратными операциями (например, A × A^(-1) = E)
5. Округление — для учебных задач часто достаточно 2-3 знаков после запятой

Частые ошибки при вычислениях

Примечание: Калькулятор выполняет вычисления с точностью до 10 знаков после запятой. Для научных расчетов высокой точности рекомендуется использовать специализированное программное обеспечение.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.