Математическое ожидание случайной величины

Игрок ставит 100 рублей на рулетке и надеется на удачу. Но казино устроено так, что средний проигрыш за каждый спин заложен в правилах игры. Этот «средний результат на длинной дистанции» – и есть математическое ожидание случайной величины. Без него невозможно оценить риски в финансах, рассчитать страховые тарифы или понять, выгодна ли лотерея.

Что такое математическое ожидание

Математическое ожидание – это среднее взвешенное значение случайной величины, где весами служат вероятности. Обозначается E[X] или M[X] (от англ. Expected value или Mean value), в статистике часто используется символ μ.

Простыми словами: если повторять опыт много раз и усреднить все полученные значения, результат будет близок к математическому ожиданию. Это не то значение, которое «наиболее вероятно», – это среднее по всем возможным исходам, учётом их вероятностей.

Как рассчитать математическое ожидание

Формула зависит от типа случайной величины – дискретной или непрерывной.

Для дискретной случайной величины

Дискретная величина принимает отдельные значения x₁, x₂, …, xₙ с вероятностями p₁, p₂, …, pₙ (сумма всех pᵢ = 1). Математическое ожидание:

M[X] = x₁·p₁ + x₂·p₂ + … + xₙ·pₙ = Σ xᵢ·pᵢ

Ряд должен сходиться абсолютно – если Σ|xᵢ|·pᵢ расходится, матожидание не определено.

Пример. Лотерея выпустила 1 000 билетов. Выигрыш и количество билетов:

Вероятности: 0,99; 0,006; 0,003; 0,001. Считаем:

M[X] = 10 × 0,99 + 50 × 0,006 + 100 × 0,003 + 5 000 × 0,001 = 9,9 + 0,3 + 0,3 + 5 = 15,5 руб.

При цене билета 50 рублей средний проигрыш – 34,5 руб. на каждый билет. Лотерея для игрока – игра с отрицательным матожиданием ru.wikipedia.org.

Для непрерывной случайной величины

Непрерывная величина задаётся плотностью распределения f(x). Математическое ожидание:

M[X] = ∫ x·f(x)dx (от −∞ до +∞)

Интеграл должен сходиться абсолютно.

Пример. Равномерное распределение на отрезке [a, b] имеет плотность f(x) = 1/(b − a). Тогда:

M[X] = ∫ x · 1/(b−a) dx = (a + b)/2

Для отрезка [2, 8] матожидание равно 5 – середина отрезка.

Калькулятор математического ожидания

Для дискретной случайной величины расчёт сводится к сумме произведений значений на вероятности. Калькулятор выше автоматизирует вычисления – достаточно указать пары «значение – вероятность» и получить результат.

Свойства математического ожидания

Свойства упрощают расчёты и часто встречаются в задачах:

• M[C] = C – матожидание константы равно самой константе
• M[C·X] = C·M[X] – постоянный множитель выносится за знак
• M[X + Y] = M[X] + M[Y] – матожидание суммы равно сумме матожиданий (даже для зависимых величин)
• M[X·Y] = M[X]·M[Y] – для независимых случайных величин произведение матожиданий
• Если X ≤ Y, то M[X] ≤ M[Y] – матожидание сохраняет неравенства

Свойство линейности особенно полезно, когда прямое вычисление громоздко.

Пример. Команда играет три матча. За победу – 2 очка, за поражение – 0. Вероятности побед: p₁ = 0,5; p₂ = 0,8; p₃ = 0,4. Найдём матожидание общего числа очков.

Матожидание очков в каждом матче:

• M[X₁] = 2 × 0,5 + 0 × 0,5 = 1
• M[X₂] = 2 × 0,8 + 0 × 0,2 = 1,6
• M[X₃] = 2 × 0,4 + 0 × 0,6 = 0,8

Общее матожидание: M[X₁ + X₂ + X₃] = 1 + 1,6 + 0,8 = 3,4 очка ege-study.ru.

Когда математическое ожидание не существует

Не у каждой случайной величины есть конечное математическое ожидание. Это происходит, когда соответствующий ряд или интеграл расходится.

Классический пример – распределение Коши. Его плотность f(x) = 1/(π(1 + x²)), и интеграл ∫|x|·f(x)dx расходится. Среднее значение у такого распределения не определено, хотя медиана и мода существуют.

Ещё один случай – когда ряд Σxᵢpᵢ сходится условно, но не абсолютно. Формально матожидание не существует, даже если «наивная» сумма конечна.

Где применяется математическое ожидание

Материал носит ознакомительный характер и не является финансовой или инвестиционной рекомендацией.

Как оценить матожидание по выборке

На практике распределение часто неизвестно, но есть наблюдения x₁, x₂, …, xₙ. Тогда математическое ожидание оценивается выборочным средним:

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

При независимых наблюдениях и росте объёма выборки x̄ → M[X] (закон больших чисел). Чем больше данных, тем точнее оценка.

Краткая сводка формул