Математическое ожидание: формула и примеры

Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям её возможных исходов. Простыми словами, это число, которое мы ожидаем получить в среднем при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента.

В теории вероятностей и математической статистике это одна из ключевых числовых характеристик, позволяющая предсказать поведение случайного процесса на длинной дистанции.

Формула для дискретной случайной величины

Если случайная величина $X$ принимает конечное или счётное число значений $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$, то математическое ожидание вычисляется по формуле:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + \ldots + x_n \cdot p_n$

Условие существования: ряд должен сходиться абсолютно.

Пример 1: Бросок игрального кубика

Рассчитаем математическое ожидание числа очков при броске стандартного шестигранного кубика.

$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3,5$

Вывод: при большом числе бросков среднее значение выпавших очков будет стремиться к 3,5.

Пример 2: Лотерейный билет

В лотерее продаётся 1000 билетов:

• 1 билет выигрывает 10 000 рублей
• 10 билетов выигрывают по 1 000 рублей
• 100 билетов выигрывают по 100 рублей
• Остальные 889 билетов – без выигрыша

Найдём математическое ожидание выигрыша для одного билета:

$E(X) = 0 \cdot 0,889 + 100 \cdot 0,1 + 1 000 \cdot 0,01 + 10 000 \cdot 0,001 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30 \text{ рублей}$

Если билет стоит дороже 30 рублей, игра математически невыгодна для игрока.

Формула для непрерывной случайной величины

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения $f(x)$ математическое ожидание определяется через интеграл:

$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx$

Условие существования: интеграл должен сходиться абсолютно.

Пример 3: Равномерное распределение

Пусть $X$ распределена равномерно на отрезке $[a, b]$. Плотность распределения:

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & \text{если } a \leq x \leq b \\ 0, & \text{иначе} \end{cases}$

Тогда:

$E(X) = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} \, dx = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{a}^{b} = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$

Математическое ожидание равномерного распределения равно середине отрезка.

Основные свойства математического ожидания

Знание свойств позволяет упрощать вычисления и анализировать сложные случайные процессы.

Пример применения свойства линейности

Стрелок делает 10 выстрелов. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдём ожидаемое количество попаданий.

Обозначим $X_i$ – индикатор попадания при $i$-м выстреле ($X_i = 1$ если попал, $0$ если промахнулся).

$E(X_i) = 1 \cdot 0,7 + 0 \cdot 0,3 = 0,7$

Общее количество попаданий: $X = X_1 + X_2 + \ldots + X_{10}$

$E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_{10}) = 10 \cdot 0,7 = 7$

Ответ: ожидаемое количество попаданий – 7.

Когда математическое ожидание не существует

Не у всех случайных величин есть конечное математическое ожидание. Классический пример – распределение Коши с плотностью:

$f(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)}$

Интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx$ расходится, поэтому математическое ожидание не определено.

Также ожидание может быть бесконечным, например, в «Санкт-Петербургском парадоксе» – игре, где теоретический выигрыш неограничен.

Практическое применение

Математическое ожидание используется в различных областях:

• Финансы и инвестиции – оценка ожидаемой доходности активов, расчёт рисков
• Страхование – определение страховых премий на основе ожидаемых выплат
• Теория игр – анализ оптимальных стратегий в азартных и экономических играх
• Физика – средние значения измеряемых величин в квантовой механике и статистической физике
• Машинное обучение – функции потерь, оценка качества моделей
• Контроль качества – ожидаемое количество дефектов в партии продукции

Связь с выборочным средним

На практике математическое ожидание часто оценивают по выборке данных. Выборочное среднее вычисляется как:

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

Согласно закону больших чисел, при увеличении объёма выборки $n$ выборочное среднее стремится к истинному математическому ожиданию (при условии независимости наблюдений).

Частые ошибки при расчёте

1. Путаница с медианой – математическое ожидание не всегда равно медиане распределения
2. Игнорирование вероятностей – простое усреднение значений без учёта их вероятностей даёт неверный результат
3. Применение к зависимым величинам – свойство $E(XY) = E(X)E(Y)$ работает только для независимых величин
4. Предположение существования – не проверяется сходимость ряда или интеграла

Заключение

Математическое ожидание – фундаментальная характеристика случайной величины, позволяющая перейти от неопределённости к количественным прогнозам. Понимание формул, свойств и ограничений этого понятия необходимо для работы с вероятностными моделями в науке, бизнесе и повседневной жизни.

Для быстрого расчёта математического ожидания дискретной случайной величины используйте наш онлайн-калькулятор выше – просто введите значения и их вероятности.