Масса груза подвешенного к пружине

Описание задачи

Определение массы груза, подвешенного к пружине, — классическая задача механики, с которой сталкиваются студенты на уроках физики и инженеры при проектировании упругих систем. Задача основана на взаимодействии силы тяжести и упругой силы пружины. Когда груз неизвестной массы подвешивают к вертикальной пружине, она растягивается до положения равновесия, в котором сила упругости уравновешивает вес груза. Измерив величину этого растяжения и зная жёсткость пружины, можно вычислить массу.

Физические основы

Расчёт массы опирается на два фундаментальных закона:

Закон Гука: упругая сила пропорциональна деформации пружины и направлена противоположно смещению. Математически: F = kx, где F — сила упругости (Н), k — коэффициент жёсткости пружины (Н/м), x — удлинение от недеформированного состояния (м).

Условие равновесия: в состоянии покоя сумма всех сил, действующих на груз, равна нулю. Сила тяжести P = mg (где m — масса груза в кг, g — ускорение свободного падения 9,8 м/с²) направлена вниз, сила упругости F = kx направлена вверх. Приравнивая их, получаем: mg = kx.

Формула расчёта массы

Из условия равновесия выражаем массу:

m = kx / g

Здесь:

• m — искомая масса груза (кг)
• k — жёсткость пружины (Н/м)
• x — растяжение пружины под действием груза (м)
• g — ускорение свободного падения, стандартно 9,8 м/с² (в учебных задачах часто округляют до 10 м/с²)

Алгоритм расчёта

1. Измерьте начальную длину пружины без нагрузки (L₀).
2. Подвесьте груз и дождитесь установления равновесия.
3. Измерьте новую длину пружины с грузом (L).
4. Вычислите растяжение: x = L − L₀.
5. Уточните жёсткость пружины k (из справочных данных, маркировки или предварительного эксперимента).
6. Примените формулу: m = kx / g.
7. Проверьте размерность и реалистичность результата.

Примеры расчётов

Пример 1. Пружина жёсткостью k = 200 Н/м растянулась на x = 0,05 м (5 см). Найти массу груза.

Решение: m = (200 × 0,05) / 9,8 = 10 / 9,8 ≈ 1,02 кг.

Пример 2. Груз массой 2 кг подвешен к пружине жёсткостью k = 500 Н/м. Проверить, соответствует ли растяжение x = 0,04 м условию равновесия.

Проверка: mg = 2 × 9,8 = 19,6 Н; kx = 500 × 0,04 = 20 Н. Разница 0,4 Н (2%) — допустима для практических измерений.

Пример 3. Пружина с k = 100 Н/м растянулась на x = 0,15 м. Масса груза: m = (100 × 0,15) / 9,8 ≈ 1,53 кг.

Определение жёсткости пружины

Если жёсткость k неизвестна, её можно измерить:

1. Подвесьте груз известной массы m₁.
2. Измерьте растяжение x₁.
3. Вычислите k = m₁g / x₁.

Например, груз 0,5 кг вызвал растяжение 0,025 м. Тогда k = (0,5 × 9,8) / 0,025 = 196 Н/м.

Жёсткость также указывается в паспорте пружины или определяется по конструкции: для цилиндрических пружин k = Gd⁴ / (8D³n), где G — модуль сдвига материала, d — диаметр проволоки, D — средний диаметр витка, n — число витков.

Единицы измерения и конверсия

• Жёсткость: 1 Н/м = 0,102 кгс/см ≈ 0,00571 фунт-сила/дюйм
• Удлинение: 1 м = 100 см = 39,37 дюйма
• Масса: 1 кг = 1000 г ≈ 2,205 фунта

При использовании других единиц (например, кгс/см для k и см для x) приведите их к СИ перед расчётом.

Точность и погрешности

Точность расчёта зависит от:

• Точности измерения растяжения: используйте линейку с ценой деления 1 мм или штангенциркуль.
• Достоверности значения k: заводская погрешность пружин обычно ±5–10%.
• Учёта массы пружины: для точных расчётов добавляйте ~1/3 массы пружины.
• Условий эксперимента: температура, вибрации, неточность крепления влияют на результат.

Практические рекомендации

• Убедитесь, что пружина находится в пределах упругих деформаций (не перегружена).
• Проводите измерения после затухания колебаний.
• Для повышения точности повторите измерение 3–5 раз и усредните результаты.
• В учебных задачах допустимо округлять g до 10 м/с² — упрощает вычисления с погрешностью ~2%.
• При работе с большими массами используйте динамометр для прямого измерения силы и проверки расчётов.

Применение

Расчёт массы груза по растяжению пружины применяется в:

• Образовательных лабораториях физики — для демонстрации закона Гука и принципов равновесия.
• Пружинных весах — принцип действия механических безменов и кантеров.
• Испытаниях материалов — контроль упругих характеристик пружин.
• Инженерных расчётах — подбор пружин для подвески, амортизаторов, клапанов.

Заключение

Определение массы груза, подвешенного к пружине, — простая, но важная задача, иллюстрирующая взаимосвязь упругости и гравитации. Зная жёсткость пружины и измерив её растяжение, вы можете точно рассчитать массу груза с помощью формулы m = kx/g. Онлайн-калькулятор автоматизирует расчёт и помогает быстро получить результат для учебных или практических целей.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.