Обновлено:

Квадрат суммы трех чисел

Квадрат суммы трех чисел — это одно из фундаментальных тождеств в алгебре, которое позволяет быстро раскрывать скобки в выражениях вида (a+b+c)². Понимание этой формулы упрощает решение многих уравнений, преобразование многочленов и другие математические задачи. Вместо того чтобы каждый раз выполнять громоздкое умножение, можно использовать готовый и проверенный шаблон.

Введите три слагаемых

Калькулятор квадрата суммы трех чисел

Используйте наш онлайн-калькулятор для быстрого расчета. Он автоматически применит формулу и представит результат в развернутом виде. Это особенно удобно при работе с переменными или сложными числами.

Как пользоваться калькулятором:

  1. Введите значение для первого слагаемого a (это может быть число, например, 5, или переменная, например, 2x).
  2. Введите значение для второго слагаемого b.
  3. Введите значение для третьего слагаемого c (оно может быть отрицательным, например, -7).
  4. Нажмите кнопку “Рассчитать”.
  5. Калькулятор покажет развернутое выражение и, если возможно, упрощенный результат.

Формула и вывод

Основная формула

Формула квадрата суммы трех слагаемых гласит, что результат равен сумме квадратов каждого из этих слагаемых и их удвоенных попарных произведений.

В математической записи это выглядит так:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Где:

Как выводится формула (пошагово)

Чтобы не просто заучивать, а понимать формулу, выведем ее самостоятельно. Квадрат — это умножение выражения на само себя.

  1. Исходное выражение: (a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c)

  2. Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй скобки (правило “умножение многочлена на многочлен”):

    • Умножим a на вторую скобку: a * (a + b + c) = a² + ab + ac
    • Умножим b на вторую скобку: b * (a + b + c) = ab + b² + bc
    • Умножим c на вторую скобку: c * (a + b + c) = ac + bc + c²

  3. Складываем все полученные результаты: a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c²

  4. Группируем подобные члены (слагаемые с одинаковой переменной частью):

    • Квадраты: a² + b² + c²
    • Произведения ab: ab + ab = 2ab
    • Произведения ac: ac + ac = 2ac
    • Произведения bc: bc + bc = 2bc

  5. Записываем итоговую формулу: a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Примеры использования

Пример 1: Расчет с числами

Давайте раскроем скобки в выражении (5 + 2 + 3)².

Результаты совпадают, что доказывает верность формулы.

Пример 2: Работа с переменными и отрицательными числами

Раскроем скобки в выражении (x - 4y + 2z)².

Здесь a = x, b = -4y, c = 2z. Важно помнить знак при подстановке!

(x - 4y + 2z)² = x² + (-4y)² + (2z)² + 2·x·(-4y) + 2·x·(2z) + 2·(-4y)·(2z)

Теперь вычисляем каждый член:

Собираем все вместе: x² + 16y² + 4z² - 8xy + 4xz - 16yz

Типичные ошибки

При использовании формулы новички часто допускают две главные ошибки.

  1. Забывают про удвоенные произведения. Самая распространенная ошибка — считать, что (a + b + c)² = a² + b² + c². Это неверно. Как мы видели в примере с числами, 100 ≠ 29. Всегда помните о + 2ab + 2ac + 2bc.

  2. Неправильно обращаются со знаками. Если в скобках есть отрицательное слагаемое, например (a - b + c)², его знак нужно учитывать при подстановке в формулу. В этом случае b в нашей формуле на самом деле равно -b. (a - b + c)² = a² + (-b)² + c² + 2·a·(-b) + 2·a·c + 2·(-b)·c = a² + b² + c² - 2ab + 2ac - 2bc.

Этот калькулятор и статья предназначены для образовательных целей. При решении сложных задач всегда перепроверяйте свои вычисления.

Часто задаваемые вопросы

Какая формула у квадрата суммы трех чисел?

Формула квадрата суммы трех чисел (a + b + c)² выглядит так: a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Она представляет собой сумму квадратов каждого слагаемого и удвоенных попарных произведений этих слагаемых.

Как вывести формулу (a + b + c)²?

Формула выводится путем последовательного умножения: (a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c). Затем каждый член первой скобки умножается на каждый член второй, а полученные результаты складываются и приводятся подобные члены.

Чем (a + b + c)² отличается от a² + b² + c²?

Это совершенно разные выражения. (a + b + c)² включает в себя не только сумму квадратов (a² + b² + c²), но и удвоенные попарные произведения (2ab + 2ac + 2bc). Например, (2+3+4)² = 81, а 2²+3²+4² = 29.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.