Квадрат суммы

Формула квадрата суммы

Основная формула квадрата суммы двух чисел:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Где:

• a и b — любые числа (положительные, отрицательные или дробные)
• a² — квадрат первого числа
• 2ab — удвоенное произведение первого и второго числа
• b² — квадрат второго числа

Словесная формулировка

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Как пользоваться калькулятором

1. Введите значение первого числа (a) в соответствующее поле
2. Введите значение второго числа (b)
3. Калькулятор автоматически рассчитает результат по формуле
4. В результате вы увидите подробное решение с промежуточными шагами

Калькулятор работает с целыми числами, десятичными дробями и отрицательными значениями.

Примеры вычисления

Пример 1: Простые числа

Найдем (3 + 5)²

Решение:

• a = 3, b = 5
• (3 + 5)² = 3² + 2·3·5 + 5²
• = 9 + 30 + 25
• = 64

Проверка: (3 + 5)² = 8² = 64 ✓

Пример 2: Числа с разными знаками

Найдем (7 - 2)²

Решение:

• a = 7, b = -2
• (7 - 2)² = 7² + 2·7·(-2) + (-2)²
• = 49 - 28 + 4
• = 25

Проверка: (7 - 2)² = 5² = 25 ✓

Пример 3: Дробные числа

Найдем (1,5 + 2,5)²

Решение:

• a = 1,5, b = 2,5
• (1,5 + 2,5)² = 1,5² + 2·1,5·2,5 + 2,5²
• = 2,25 + 7,5 + 6,25
• = 16

Пример 4: С алгебраическими выражениями

Раскроем (x + 3)²

Решение:

• (x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²
• = x² + 6x + 9

Квадрат суммы трех чисел

Для трех слагаемых формула расширяется:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Пример

Найдем (2 + 3 + 4)²

Решение:

• (2 + 3 + 4)² = 2² + 3² + 4² + 2·2·3 + 2·2·4 + 2·3·4
• = 4 + 9 + 16 + 12 + 16 + 24
• = 81

Проверка: (2 + 3 + 4)² = 9² = 81 ✓

Геометрическая интерпретация

Формулу квадрата суммы можно наглядно представить через площадь квадрата:

Если построить квадрат со стороной (a+b), его площадь будет равна (a+b)². При разбиении этого квадрата на части получаются два квадрата (a² и b²) и два одинаковых прямоугольника (каждый площадью ab).

Типичные ошибки

Ошибка 1: Забывание удвоенного произведения

❌ Неверно: (a + b)² = a² + b²

✓ Верно: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Пример ошибки:

• (3 + 5)² ≠ 3² + 5² = 9 + 25 = 34
• (3 + 5)² = 64 (правильный ответ)

Ошибка 2: Неправильная работа со знаками

❌ Неверно: (5 - 3)² = 5² - 2·5·3 - 3²

✓ Верно: (5 - 3)² = 5² + 2·5·(-3) + (-3)² = 25 - 30 + 9 = 4

Ошибка 3: Путаница с суммой квадратов

Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Сумма квадратов: a² + b² (это другая формула!)

Разница между ними — слагаемое 2ab.

Связанные формулы

Квадрат разности

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Разность квадратов

a² - b² = (a - b)(a + b)

Куб суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Практическое применение

1. Упрощение алгебраических выражений

Вместо длинного умножения (x + 5)(x + 5) можно сразу записать x² + 10x + 25

2. Решение уравнений

При решении квадратных уравнений методом выделения полного квадрата

3. Быстрые вычисления

Для устного счета:

• 21² = (20 + 1)² = 400 + 40 + 1 = 441
• 98² = (100 - 2)² = 10000 - 400 + 4 = 9604

4. Физика и инженерия

При расчетах площадей, объемов, энергии, где встречаются квадратичные зависимости

Советы по запоминанию

1. Визуализация: представляйте геометрическую модель — квадрат, разделенный на части
2. Мнемоника: “Квадрат первого + дважды первое на второе + квадрат второго”
3. Практика: решайте примеры с разными числами для закрепления
4. Проверка: всегда можно проверить результат, сначала сложив числа, а затем возведя в квадрат

Таблица квадратов суммы для малых чисел

Калькулятор квадрата суммы предназначен для образовательных целей и практических вычислений. Результаты расчетов рекомендуется проверять при использовании в критических приложениях.

Часто задаваемые вопросы