Корень из числа

Что такое корень из числа

Корень из числа — математическая операция, обратная возведению в степень. Корень степени n из числа a — это такое число b, которое при возведении в степень n даёт a: b^n = a. Обозначается символом √ (для квадратного корня) или ⁿ√ (для корня произвольной степени).

Основные виды корней:

• Квадратный корень (√a или ²√a) — корень 2-й степени
• Кубический корень (∛a или ³√a) — корень 3-й степени
• Корень n-й степени (ⁿ√a) — корень произвольной степени

Например, √25 = 5, потому что 5² = 25; ∛64 = 4, потому что 4³ = 64.

Как пользоваться калькулятором корня

1. Введите число — подкоренное выражение (положительное или отрицательное для нечётных степеней)
2. Укажите степень корня — 2 для квадратного, 3 для кубического, любое натуральное число для корня n-й степени
3. Нажмите “Вычислить” — калькулятор мгновенно рассчитает результат
4. Получите ответ — точное значение или десятичное приближение с заданной точностью

Калькулятор автоматически определяет, является ли результат целым числом или иррациональным, и выводит оптимальную форму записи.

Формулы и обозначения

Общая формула корня n-й степени:

ⁿ√a = a^(1/n)

где a — подкоренное число, n — показатель степени корня (натуральное число ≥ 2).

Свойства корней:

• ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b — корень из произведения
• ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b — корень из частного
• ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a — корень из корня
• (ⁿ√a)^n = a — возведение корня в степень n
• ⁿ√(a^m) = a^(m/n) — корень из степени

Особые случаи:

• ⁿ√0 = 0 для любого n
• ⁿ√1 = 1 для любого n
• √(a²) = |a| — квадратный корень из квадрата даёт модуль

Примеры вычисления корней

Пример 1: Квадратный корень из целого числа

Задача: Найти √144

Решение:
√144 = 12, потому что 12² = 12 × 12 = 144

Проверка: 12² = 144 ✓

Пример 2: Кубический корень

Задача: Извлечь ∛125

Решение:
∛125 = 5, так как 5³ = 5 × 5 × 5 = 125

Проверка: 5³ = 125 ✓

Пример 3: Корень из нецелого числа

Задача: Вычислить √50

Решение:
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2 ≈ 7,071

Точное значение: 7,0710678…

Пример 4: Корень четвёртой степени

Задача: Найти ⁴√625

Решение:
⁴√625 = 5, потому что 5⁴ = 625

Альтернативный способ: ⁴√625 = √(√625) = √25 = 5

Пример 5: Корень из отрицательного числа

Задача: Извлечь ∛(−27)

Решение:
∛(−27) = −3, так как (−3)³ = −27

Важно: Корни нечётной степени из отрицательных чисел существуют в действительных числах.

Правила извлечения корней

Для квадратного корня

• Корень существует только из неотрицательных чисел: √a определён при a ≥ 0
• Результат всегда неотрицательный: √a ≥ 0
• Идеальные квадраты: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144…

Для кубического корня

• Существует из любых чисел (положительных, отрицательных, нуля)
• Сохраняет знак подкоренного выражения: ∛(−a) = −∛a
• Идеальные кубы: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000…

Для корня произвольной степени

• Чётная степень (n = 2, 4, 6…): корень существует только из неотрицательных чисел, результат неотрицательный
• Нечётная степень (n = 3, 5, 7…): корень существует из любых чисел, сохраняет знак

Упрощение корней

Корень можно упростить, если подкоренное выражение содержит полный квадрат (куб, n-ю степень):

Примеры упрощения:

• √72 = √(36 × 2) = 6√2
• √200 = √(100 × 2) = 10√2
• ∛54 = ∛(27 × 2) = 3∛2
• √(18/49) = √18 / √49 = 3√2 / 7

Алгоритм упрощения:

1. Разложите число на множители
2. Найдите полные степени (квадраты для √, кубы для ∛)
3. Вынесите их из-под корня
4. Упростите оставшееся выражение

Проверка результата

Способ 1: Возведение в степень

Возведите результат в степень, соответствующую корню. Если получите исходное число — расчёт верен.

Пример: √49 = 7 → 7² = 49 ✓

Способ 2: Приближённая оценка

Сравните с ближайшими известными значениями.

Пример: √50 должно быть между √49 = 7 и √64 = 8, примерно 7,07 ✓

Способ 3: Использование свойств

Проверьте через упрощение или разложение.

Пример: √(4 × 25) = √4 × √25 = 2 × 5 = 10 = √100 ✓

Таблица квадратных и кубических корней

Применение корней

Геометрия: Вычисление сторон фигур (диагональ квадрата = a√2, радиус круга через площадь)

Физика: Расчёт скорости (v = √(2gh)), периода колебаний, электрических величин

Статистика: Стандартное отклонение, среднеквадратичное значение

Финансы: Расчёт средней доходности, сложных процентов

Строительство: Определение размеров, расстояний, объёмов материалов

Частые ошибки

❌ Путаница со знаками: √(−9) не существует в действительных числах, но ∛(−27) = −3

❌ Неправильное упрощение: √(a + b) ≠ √a + √b

❌ Забытый модуль: √(x²) = |x|, а не просто x

❌ Ошибки в степенях: (√a)² = a, но √(a²) = |a|

✅ Правильный подход: Проверяйте ограничения (чётная/нечётная степень), используйте свойства корней, всегда проверяйте результат возведением в степень.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.