Комплексный калькулятор

Что такое комплексные числа

Комплексное число представляется в виде a + bi, где:

• a — действительная (реальная) часть числа
• b — мнимая часть числа
• i — мнимая единица, для которой выполняется равенство i² = -1

Примеры комплексных чисел:

• 3 + 4i
• -2 + 5i
• 7 - 3i
• 6 (чисто действительное число: 6 + 0i)
• 2i (чисто мнимое число: 0 + 2i)

Комплексные числа расширяют множество действительных чисел и решают задачи, которые невозможно решить в рамках только действительных чисел, например, извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Основные операции с комплексными числами

Сложение и вычитание

При сложении и вычитании комплексных чисел складываются или вычитаются отдельно действительные и мнимые части.

Формула сложения: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Формула вычитания: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Пример: (3 + 4i) + (2 - 5i) = (3 + 2) + (4 - 5)i = 5 - i

Умножение

Умножение выполняется по правилам алгебры с учетом того, что i² = -1.

Формула умножения: (a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Пример: (2 + 3i) × (4 + i) = (2×4 - 3×1) + (2×1 + 3×4)i = (8 - 3) + (2 + 12)i = 5 + 14i

Деление

Деление комплексных чисел выполняется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число знаменателя.

Сопряженное число для (a + bi) — это (a - bi).

Формула деления: (a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]

Пример: (6 + 8i) / (3 + 2i) = [(6 + 8i)(3 - 2i)] / [(3 + 2i)(3 - 2i)] = (18 - 12i + 24i - 16i²) / (9 - 4i²) = (18 + 12i + 16) / (9 + 4) = (34 + 12i) / 13 = 34/13 + 12i/13

Дополнительные функции комплексного калькулятора

Модуль комплексного числа

Модуль (или абсолютное значение) комплексного числа — это расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости.

Формула: |a + bi| = √(a² + b²)

Пример: |3 + 4i| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Аргумент комплексного числа

Аргумент — это угол между положительным направлением оси X и вектором, представляющим комплексное число.

Формула: arg(a + bi) = arctan(b/a)

Угол измеряется в радианах или градусах, с учетом квадранта, в котором находится число.

Пример: arg(1 + i) = arctan(1/1) = π/4 радиан = 45°

Сопряженное число

Сопряженное число получается заменой знака мнимой части на противоположный.

Формула: Сопряженное для (a + bi) = (a - bi)

Пример: Сопряженное для (5 + 7i) = 5 - 7i

Возведение в степень

Для возведения комплексного числа в степень можно использовать формулу Муавра:

z^n = r^n × (cos(nφ) + i×sin(nφ))

где r — модуль числа, φ — его аргумент.

Извлечение корня

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа дает n различных корней, расположенных симметрично на комплексной плоскости.

Как пользоваться комплексным калькулятором

1. Введите первое комплексное число в формате a + bi (например, 3 + 4i)
2. Выберите операцию: сложение (+), вычитание (-), умножение (×), деление (/)
3. Введите второе комплексное число (если требуется для операции)
4. Нажмите кнопку “Рассчитать”
5. Калькулятор отобразит результат в стандартной форме a + bi

Для специальных функций (модуль, аргумент, сопряженное) достаточно ввести одно число и выбрать соответствующую функцию.

Форматы записи комплексных чисел

Комплексные числа можно записывать в различных форматах:

Большинство калькуляторов используют алгебраическую форму, как наиболее удобную для ввода и восприятия.

Практические примеры использования

Пример 1: Решение квадратного уравнения

Уравнение: x² + 2x + 5 = 0

Дискриминант: D = 2² - 4×1×5 = 4 - 20 = -16

Корни:

• x₁ = (-2 + √(-16)) / 2 = (-2 + 4i) / 2 = -1 + 2i
• x₂ = (-2 - 4i) / 2 = -1 - 2i

Пример 2: Расчет электрической цепи

В электротехнике сопротивление, индуктивность и емкость представляются комплексными числами (импедансами).

Если Z₁ = 3 + 4i Ом и Z₂ = 5 - 2i Ом соединены последовательно, то общий импеданс: Z = Z₁ + Z₂ = (3 + 4i) + (5 - 2i) = 8 + 2i Ом

Пример 3: Проверка результата умножения

Задача: проверить, что (1 + i)² = 2i

Решение: (1 + i)² = (1 + i)(1 + i) = 1×1 + 1×i + i×1 + i×i = 1 + i + i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i ✓

Типичные ошибки при работе с комплексными числами

Неправильное деление: не забывайте умножать на сопряженное число знаменателя.

Неверное возведение в степень: помните, что i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, и цикл повторяется.

Путаница со знаками: при вычитании комплексных чисел меняйте знаки обеих частей вычитаемого.

Забывание о модуле: модуль всегда положителен и является действительным числом.

Ошибки в аргументе: учитывайте квадрант расположения комплексного числа при вычислении угла.

Области применения комплексных чисел

• Электротехника: расчет цепей переменного тока, импедансов, фазовых сдвигов
• Квантовая механика: волновые функции и операторы
• Обработка сигналов: преобразование Фурье, анализ частот
• Аэродинамика: расчет обтекания профилей
• Теория управления: передаточные функции, устойчивость систем
• Картография: конформные отображения
• Математический анализ: теория функций комплексного переменного

Преимущества онлайн-калькулятора

Комплексный калькулятор экономит время и исключает арифметические ошибки при работе со сложными вычислениями.

Преимущества использования:

• Мгновенное получение точного результата
• Отсутствие риска вычислительных ошибок
• Поддержка различных операций и функций
• Возможность последовательных вычислений
• Бесплатный доступ 24/7
• Не требуется установка программного обеспечения

Дисклеймер: данный калькулятор предназначен для образовательных и практических целей. При выполнении критически важных расчетов рекомендуется дополнительная проверка результатов.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.