Калькулятор векторов онлайн - расчет операций с векторами

Калькулятор векторов — это удобный онлайн-инструмент для выполнения основных математических операций с векторами. Он позволяет быстро и точно рассчитывать сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения, а также находить длину и угол между векторами.

Калькулятор векторов

Размерность векторов
Первый вектор a
Второй вектор b

Основные операции с векторами

Сложение и вычитание векторов

Сложение векторов выполняется покоординатно:

  • a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz)
  • a - b = (ax - bx, ay - by, az - bz)

Пример: Если a = (3, 2, 1) и b = (1, 4, 2), то:

  • a + b = (4, 6, 3)
  • a - b = (2, -2, -1)

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов — это число, вычисляемое по формуле: a · b = ax·bx + ay·by + az·bz

Геометрический смысл: a · b = |a| × |b| × cos(θ), где θ — угол между векторами.

Векторное произведение

Векторное произведение применимо только к трехмерным векторам и результатом является новый вектор:

a × b = (ay·bz - az·by, az·bx - ax·bz, ax·by - ay·bx)

Как пользоваться калькулятором векторов

  1. Выберите размерность — двумерные (2D) или трехмерные (3D) векторы
  2. Введите координаты первого и второго вектора в соответствующие поля
  3. Выберите операцию из списка доступных
  4. Нажмите кнопку расчета для получения результата

Доступные операции

ОперацияОбозначениеРезультат
Сложениеa + bВектор
Вычитаниеa - bВектор
Скалярное произведениеa · bЧисло
Векторное произведениеa × bВектор (только 3D)
Длина вектора|a|Число
Угол между векторами∠(a, b)Градусы/радианы

Длина (модуль) вектора

Длина вектора рассчитывается по теореме Пифагора:

  • Для 2D: |v| = √(x² + y²)
  • Для 3D: |v| = √(x² + y² + z²)

Пример: Для вектора v = (3, 4, 0) длина составляет √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5

Угол между векторами

Угол θ между двумя векторами находится по формуле:

cos(θ) = (a · b) / (|a| × |b|)

Калькулятор автоматически вычисляет угол в градусах и радианах.

Практические применения

В физике

  • Расчет результирующей силы
  • Определение скорости и ускорения
  • Анализ электрических и магнитных полей

В геометрии

  • Построение перпендикулярных прямых
  • Вычисление площади параллелограмма
  • Определение коллинеарности векторов

В программировании

  • 3D графика и анимация
  • Игровая физика
  • Компьютерное зрение

Свойства векторных операций

Коммутативность

  • a + b = b + a ✓
  • a · b = b · a ✓
  • a × b = -(b × a) ✗

Ассоциативность

  • (a + b) + c = a + (b + c) ✓
  • (a · b) · c ≠ a · (b · c) ✗

Полезные формулы

Единичный вектор

Единичный вектор в направлении a: û = a / |a|

Проекция вектора

Проекция a на b: projb(a) = ((a · b) / |b|²) × b

Площадь параллелограмма

Площадь = |a × b| (для векторов, образующих стороны)

Калькулятор векторов значительно упрощает выполнение сложных вычислений и помогает студентам, инженерам и исследователям быстро получать точные результаты при работе с векторными величинами.

Часто задаваемые вопросы

Как найти длину вектора?

Длина вектора рассчитывается по формуле |v| = √(x² + y² + z²), где x, y, z - координаты вектора. Введите координаты в калькулятор, и он автоматически вычислит длину.

Что такое скалярное произведение векторов?

Скалярное произведение - это число, полученное умножением соответствующих координат векторов и сложением результатов: a·b = ax·bx + ay·by + az·bz.

Можно ли складывать векторы разной размерности?

Нет, складывать и вычитать можно только векторы одинаковой размерности. Для двумерных векторов используются координаты (x,y), для трехмерных - (x,y,z).

Как использовать калькулятор для векторного произведения?

Векторное произведение определено только для трехмерных векторов. Введите координаты двух векторов в соответствующие поля, выберите операцию 'векторное произведение' и получите результат.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.