Обновлено:

Калькулятор векторов

Калькулятор векторов — это удобный онлайн-инструмент для выполнения основных математических операций с векторами. Он позволяет быстро и точно рассчитывать сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения, а также находить длину и угол между векторами.

Содержание статьи
Размерность векторов
Первый вектор a
Второй вектор b

Основные операции с векторами

Сложение и вычитание векторов

Сложение векторов выполняется покоординатно:

Пример: Если a = (3, 2, 1) и b = (1, 4, 2), то:

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов — это число, вычисляемое по формуле: a · b = ax·bx + ay·by + az·bz

Геометрический смысл: a · b = |a| × |b| × cos(θ), где θ — угол между векторами.

Векторное произведение

Векторное произведение применимо только к трехмерным векторам и результатом является новый вектор:

a × b = (ay·bz - az·by, az·bx - ax·bz, ax·by - ay·bx)

Как пользоваться калькулятором векторов

  1. Выберите размерность — двумерные (2D) или трехмерные (3D) векторы
  2. Введите координаты первого и второго вектора в соответствующие поля
  3. Выберите операцию из списка доступных
  4. Нажмите кнопку расчета для получения результата

Доступные операции

ОперацияОбозначениеРезультат
Сложениеa + bВектор
Вычитаниеa - bВектор
Скалярное произведениеa · bЧисло
Векторное произведениеa × bВектор (только 3D)
Длина вектора|a|Число
Угол между векторами∠(a, b)Градусы/радианы

Длина (модуль) вектора

Длина вектора рассчитывается по теореме Пифагора:

Пример: Для вектора v = (3, 4, 0) длина составляет √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5

Угол между векторами

Угол θ между двумя векторами находится по формуле:

cos(θ) = (a · b) / (|a| × |b|)

Калькулятор автоматически вычисляет угол в градусах и радианах.

Практические применения

В физике

В геометрии

В программировании

Свойства векторных операций

Коммутативность

Ассоциативность

Полезные формулы

Единичный вектор

Единичный вектор в направлении a: û = a / |a|

Проекция вектора

Проекция a на b: projb(a) = ((a · b) / |b|²) × b

Площадь параллелограмма

Площадь = |a × b| (для векторов, образующих стороны)

Калькулятор векторов значительно упрощает выполнение сложных вычислений и помогает студентам, инженерам и исследователям быстро получать точные результаты при работе с векторными величинами.

Часто задаваемые вопросы

Как найти длину вектора?

Длина вектора рассчитывается по формуле |v| = √(x² + y² + z²), где x, y, z - координаты вектора. Введите координаты в калькулятор, и он автоматически вычислит длину.

Что такое скалярное произведение векторов?

Скалярное произведение - это число, полученное умножением соответствующих координат векторов и сложением результатов: a·b = ax·bx + ay·by + az·bz.

Можно ли складывать векторы разной размерности?

Нет, складывать и вычитать можно только векторы одинаковой размерности. Для двумерных векторов используются координаты (x,y), для трехмерных - (x,y,z).

Как использовать калькулятор для векторного произведения?

Векторное произведение определено только для трехмерных векторов. Введите координаты двух векторов в соответствующие поля, выберите операцию 'векторное произведение' и получите результат.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.