Калькулятор решения систем

Как пользоваться калькулятором

Ввод данных

1. Выберите размерность системы — количество уравнений и неизвестных (2×2, 3×3, 4×4 и т.д.)
2. Введите коэффициенты при переменных x, y, z и других в соответствующие поля
3. Укажите свободные члены — числа в правой части каждого уравнения
4. Выберите метод решения (опционально) или оставьте автоматический выбор

Форматы записи

Система представляется в стандартном виде:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Пример для системы 3×3:

• Уравнение 1: 2x + 3y - z = 5
• Уравнение 2: x - y + 2z = 3
• Уравнение 3: 3x + 2y + z = 7

Введите коэффициенты:

• Строка 1: 2, 3, -1, 5
• Строка 2: 1, -1, 2, 3
• Строка 3: 3, 2, 1, 7

Интерпретация результата

Калькулятор выдает один из трех вариантов:

Методы решения систем уравнений

Метод Крамера

Применяется: для систем с квадратной матрицей коэффициентов (n уравнений, n неизвестных), когда определитель ≠ 0.

Принцип работы:

1. Вычислить главный определитель системы Δ
2. Для каждой переменной создать определитель, заменив соответствующий столбец на столбец свободных членов
3. Найти значения: x₁ = Δ₁/Δ, x₂ = Δ₂/Δ и т.д.

Пример:

2x + 3y = 8
x - y = -1

Главный определитель:

Δ = |2   3| = 2·(-1) - 3·1 = -5
    |1  -1|

Определители для переменных:

Δₓ = |8   3| = 8·(-1) - 3·(-1) = -5
     |-1 -1|

Δᵧ = |2   8| = 2·(-1) - 8·1 = -10
     |1  -1|

Решение:

x = Δₓ/Δ = -5/(-5) = 1
y = Δᵧ/Δ = -10/(-5) = 2

Проверка: 2·1 + 3·2 = 8 ✓, 1 - 2 = -1 ✓

Метод Гаусса

Применяется: для любых систем, особенно эффективен для больших размерностей.

Этапы:

1. Прямой ход — приведение к ступенчатому виду (треугольная матрица)
2. Обратный ход — последовательное нахождение переменных снизу вверх

Пример:

x + 2y + z = 6
2x + y - z = 1
3x - y + 2z = 7

Прямой ход:

Исходная расширенная матрица:

| 1  2  1 | 6 |
| 2  1 -1 | 1 |
| 3 -1  2 | 7 |

Обнуляем первый столбец под главной диагональю:

• Строка 2 = Строка 2 - 2·Строка 1
• Строка 3 = Строка 3 - 3·Строка 1

| 1  2  1 |  6 |
| 0 -3 -3 | -11|
| 0 -7 -1 | -11|

Обнуляем второй столбец:

• Строка 3 = Строка 3 - (7/3)·Строка 2

| 1  2   1  |  6   |
| 0 -3  -3  | -11  |
| 0  0   6  |  14.67|

Обратный ход:

z = 14.67/6 = 2.44
-3y - 3(2.44) = -11 → y = 1.19
x + 2(1.19) + 2.44 = 6 → x = 1.38

Метод подстановки

Применяется: для небольших систем (2-3 уравнения), особенно когда одна переменная легко выражается.

Алгоритм:

1. Из одного уравнения выразить переменную через другие
2. Подставить выражение в остальные уравнения
3. Решить упрощенную систему
4. Найти оставшиеся переменные

Пример:

x + y = 5
2x - y = 1

Из первого уравнения: y = 5 - x

Подставляем во второе:

2x - (5 - x) = 1
2x - 5 + x = 1
3x = 6
x = 2

Находим y: y = 5 - 2 = 3

Метод обратной матрицы

Применяется: когда система имеет вид AX = B, где A — квадратная невырожденная матрица.

Формула: X = A⁻¹·B

Эффективен для систем малой размерности, когда обратная матрица легко вычисляется.

Основные понятия

Совместность системы

• Совместная — имеет хотя бы одно решение
• Несовместная — не имеет решений (противоречивая)

Признак несовместности: при решении получается уравнение вида 0 = k, где k ≠ 0.

Определенность системы

• Определенная — имеет единственное решение
• Неопределенная — имеет бесконечное множество решений

Признак неопределенности: количество независимых уравнений меньше количества переменных.

Ранг матрицы

Ранг — максимальное число линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли:

• Система совместна ⟺ ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы
• Если ранг = числу переменных → единственное решение
• Если ранг < числа переменных → бесконечно много решений

Типичные ошибки и советы

Ошибки при вводе данных

❌ Неправильно: перепутать знаки коэффициентов

• Уравнение: x - 2y = 5
• Ввод: 1, 2, 5 (забыли минус)

✅ Правильно: 1, -2, 5

❌ Неправильно: не учитывать нулевые коэффициенты

• Система: x + z = 3, 2x + y = 4
• Ввод: пропустить коэффициент при y в первом уравнении

✅ Правильно: вводить 0 для отсутствующих переменных

Выбор метода

Проверка результата

Обязательно подставьте найденные значения в исходные уравнения:

Решение: x = 2, y = 3
Проверка в уравнении 2x + y = 7:
2·2 + 3 = 4 + 3 = 7 ✓

Если хотя бы одно уравнение не выполняется — ошибка в вычислениях.

Практические применения

Экономика и бизнес

Задача: компания производит три товара. Известны затраты ресурсов и их доступное количество.

2x + 3y + z = 100  (сырье A)
x + 2y + 3z = 80   (сырье B)
3x + y + 2z = 90   (трудозатраты)

Решение показывает оптимальное количество каждого товара.

Физика

Задача: найти токи в электрической цепи по законам Кирхгофа.

I₁ + I₂ - I₃ = 0        (узел)
10I₁ + 5I₂ = 12         (контур 1)
5I₂ + 15I₃ = 15         (контур 2)

Химия

Задача: уравнивание химических реакций подбором коэффициентов.

aC₂H₆ + bO₂ = cCO₂ + dH₂O

Составляется система по балансу атомов каждого элемента.

Особые случаи

Система с параметром

Когда в коэффициентах присутствует неизвестный параметр α:

x + αy = 2
2x + y = α

Решение зависит от значения α. Калькулятор может найти общее решение или исследовать систему при разных α.

Однородная система

Все свободные члены равны нулю:

2x + 3y - z = 0
x - y + 2z = 0
3x + 2y + z = 0

Всегда имеет тривиальное решение (x = y = z = 0). Нетривиальные решения существуют, если определитель = 0.

Переопределенная система

Уравнений больше, чем неизвестных (например, 4 уравнения, 3 переменных). Обычно несовместна, но калькулятор может найти решение методом наименьших квадратов — приближенное решение, минимизирующее ошибку.

Примечание: калькулятор предназначен для образовательных целей и помощи в решении стандартных задач. Для критически важных расчетов рекомендуется дополнительная проверка результатов.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.