Калькулятор матрицы онлайн бесплатно — сложение, умножение, детерминант

Решение матричных уравнений вручную требует внимания и времени. Калькулятор матрицы бесплатно выполнит арифметические операции, найдет определитель и обратную матрицу. Введите размерность и значения элементов — результат отобразится мгновенно.

Обновлено:

Настройка размерности

Матрица A

Матрица B (для операций с двумя матрицами)

Нажмите, чтобы сформировать ячейки для ввода чисел.

Операция

Как пользоваться

Наш калькулятор матрицы бесплатно помогает решать задачи линейной алгебры за несколько шагов.

  1. Выберите размерность для матриц А и В (количество строк и столбцов).
  2. Заполните ячейки числами. Можно использовать целые числа, десятичные дроби или отрицательные значения.
  3. Выберите операцию из списка: сложение, вычитание, умножение, возведение в степень, поиск определителя (детерминанта), ранга или обратной матрицы.
  4. Нажмите «Рассчитать».
  5. Получите результат. Ниже появится итоговая матрица или число с пояснением хода решения.

Результат можно скопировать для дальнейшего использования в документах или лабораторных работах.

Как производится расчёт

Операции с матрицами строятся на строгих правилах линейной алгебры. Разберем основные алгоритмы, которые использует программа.

Сложение и вычитание

Производится поэлементно. Матрицы должны быть одинакового размера. Элемент $c_{ij}$ итоговой матрицы равен сумме элементов $a_{ij}$ и $b_{ij}$.

Формула: $C = A \pm B \Rightarrow c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$

Умножение матриц

Самая частая операция (“строка на столбец”). Элемент новой матрицы — это сумма произведений элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй.

Пример: Даны матрицы $A$ и $B$ размером $2 \times 2$:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Расчёт элемента первой строки первого столбца ($c_{11}$): $1 \times 2 + 2 \times 1 = 2 + 2 = 4$

Полный результат:

$$ A \times B = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix} $$

Определитель (Детерминант)

Для матрицы $2 \times 2$ считается по простой формуле “крест-накрест”:

$\det A = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

Для матриц $3 \times 3$ и больше используются методы разложения по строке/столбцу или метод Гаусса.

Практические примеры

Рассмотрим типовые задачи студентов и инженеров, где калькулятор экономит время.

Ситуация 1: Решение систем линейных уравнений (СЛАУ)

Вам нужно решить систему уравнений методом матриц (через обратную матрицу). Система: $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = -1 \end{cases}$

Тип данныхВвод в калькуляторОперацияРезультат
Матрица коэфф. (A)[[2, 1], [1, -3]]Обратная матрица ($A^{-1}$)[[0.428, 0.142], [0.142, -0.285]]
Вектор результата ($B$)[[5], [-1]]Умножение $A^{-1} \times B$$x = 2, y = 1$

Ситуация 2: Проверка домашнего задания

Студенту нужно перемножить две матрицы $3 \times 3$ с большими числами. Ручной счет занимает 10-15 минут и чреват арифметическими ошибками.

Входные данные: Матрица А со значениями от 15 до 95. Матрица B со значениями от -10 до 30.

Действие: Ввод данных в поля калькулятора $\rightarrow$ нажатие кнопки «Умножить».

Результат: Мгновенное получение матрицы-ответа и сверка с собственными вычислениями. Позволяет быстро найти ошибку в знаке или умножении.

Полезная информация

При работе с матричными калькуляторами важно помнить несколько нюансов.

Основные термины

Частые ошибки пользователей

  1. Несоответствие размерности. Пытаются умножить матрицу $3 \times 3$ на $2 \times 3$. Внутренние размерности должны совпадать (число столбцов первой = число строк второй).
  2. Порядок множителей. В матричной алгебре $A \times B$ не равно $B \times A$. Перестановка множителей меняет результат.
  3. Обратная матрица нулевого определителя. Если детерминант равен 0, обратной матрицы не существует.

Где применяются матрицы

Помимо учебы, матричные вычисления используются в:

Наш калькулятор подходит для любых задач, не требующих символьных вычислений (с переменными $x, y$ внутри матрицы).

Заключение

Матричный калькулятор — незаменимый инструмент для проверки расчетов и быстрых вычислений. Используйте его для решения СЛАУ, нахождения определителей и операций с матрицами любой размерности. Начните расчет прямо сейчас, введя данные в форму выше.

Дисклеймер

Расчёты носят математический и информационный характер. Сервис работает по стандартным алгоритмам, однако при использовании результатов в ответственных инженерных проектах рекомендуется дополнительная верификация специализированным ПО.

Часто задаваемые вопросы

Как умножить две матрицы разного размера?

Умножение возможно только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Если размеры (m×n) и (n×k), результатом будет матрица (m×k).

Что такое определитель матрицы?

Это числовая характеристика квадратной матрицы, которая используется при решении систем линейных уравнений и поиске обратной матрицы.

Можно ли найти обратную матрицу для любой матрицы?

Нет, обратная матрица существует только для квадратных матриц, определитель которых не равен нулю (невырожденные матрицы).

Как выполняется транспонирование?

При транспонировании строки матрицы становятся столбцами с теми же номерами. Матрица A(m×n) превращается в Aᵀ(n×m).

Этот калькулятор показывает ход решения?

Да, инструмент не только выдает ответ, но и демонстрирует промежуточные шаги вычислений.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.