Калькулятор матриц онлайн — все операции за секунды

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите размер матрицы — укажите число строк и столбцов (от 2×2 до 5×5).
2. Заполните элементы — введите числа в каждую ячейку. Можно использовать целые числа, дроби и десятичные.
3. Для двух матриц — при сложении, вычитании или умножении заполните обе матрицы. Проверьте совместимость размеров.
4. Выберите операцию — нажмите кнопку нужного действия: +, −, ×, определитель, обратная или транспонирование.
5. Получите результат — калькулятор выведет итоговую матрицу или числовое значение. Для обратной матрицы показывается промежуточный шаг — определитель.

Результат можно скопировать или использовать для следующих вычислений.

Как производится расчёт

Сложение и вычитание матриц

Операции выполняются поэлементно для матриц одинакового размера:

C(i,j) = A(i,j) ± B(i,j)

Пример:

A = [2  3]    B = [1  4]    A + B = [3   7]
    [5  1]        [2  0]            [7   1]

Умножение матриц

Элемент результата C(i,j) равен сумме произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы j-го столбца второй:

C(i,j) = Σ A(i,k) × B(k,j)

Пример (2×2):

A = [1  2]    B = [5  6]    A × B = [1×5+2×7  1×6+2×8] = [19  22]
    [3  4]        [7  8]            [3×5+4×7  3×6+4×8]   [43  50]

Определитель матрицы

Для матрицы 2×2:

det(A) = a₁₁ × a₂₂ − a₁₂ × a₂₁

Для матрицы 3×3 используется правило Саррюса или разложение по строке. Пример:

A = [2  1  3]
    [0  4  5]
    [1  2  1]

det(A) = 2×(4×1 − 5×2) − 1×(0×1 − 5×1) + 3×(0×2 − 4×1) = −17

Обратная матрица

Существует только для квадратных матриц с ненулевым определителем:

A⁻¹ = (1 / det(A)) × adj(A)

где adj(A) — присоединённая матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений).

Практические примеры

Пример 1: Решение системы уравнений

Задача: Найти решение системы 2x + 3y = 8, 4x + y = 7.

Составим матрицу коэффициентов:

A = [2  3]    B = [8]
    [4  1]        [7]

Найдём A⁻¹ и умножим на B:

det(A) = 2×1 − 3×4 = −10

A⁻¹ = [−0,1   0,3]
      [ 0,4  −0,2]

X = A⁻¹ × B = [1]  → x = 1, y = 2
              [2]

Пример 2: Преобразование координат

Задача: Повернуть точку (3, 4) на 90° против часовой стрелки.

Матрица поворота:

R = [ 0  −1]    Точка = [3]
    [ 1   0]            [4]

Новая точка = R × [3] = [−4]
                  [4]   [ 3]

Результат: (−4, 3).

Пример 3: Проверка линейной зависимости

Векторы (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9) задают строки матрицы:

A = [1  2  3]
    [4  5  6]
    [7  8  9]

det(A) = 0

Определитель равен нулю — векторы линейно зависимы.

Полезная информация

Основные термины

Квадратная матрица — число строк равно числу столбцов (2×2, 3×3). Только для них определён определитель.

Единичная матрица E — квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных позициях. При умножении любой матрицы на E результат не меняется: A × E = A.

След матрицы — сумма элементов главной диагонали. Для матрицы [[2, 3], [4, 5]] след равен 2 + 5 = 7.

Ранг матрицы — максимальное число линейно независимых строк (или столбцов). Показывает размерность пространства, порождённого векторами-строками.

Свойства операций

Частые ошибки

Умножение несовместимых матриц. Матрицу 2×3 нельзя умножить на 2×3. Нужна матрица 3×k, где k — любое число.

Путаница в порядке умножения. A × B и B × A — разные матрицы. Всегда проверяйте последовательность.

Деление на матрицу. Операции деления не существует. Используйте умножение на обратную матрицу: A / B = A × B⁻¹.

Обратная для вырожденной матрицы. Если определитель равен 0, обратной матрицы не существует. Калькулятор выдаст ошибку.

Применение в реальных задачах

Компьютерная графика — вращение, масштабирование и перенос 3D-объектов выполняются умножением на матрицы преобразований.

Машинное обучение — нейросети обрабатывают данные матричными операциями. Веса связей хранятся в матрицах.

Физика и инженерия — расчёт напряжений в конструкциях, анализ электрических цепей, квантовая механика используют матричный аппарат.

Экономика — модель Леонтьева «затраты-выпуск» описывает связи между отраслями через матрицу коэффициентов.

Заключение

Калькулятор матриц экономит часы ручных вычислений и исключает ошибки в промежуточных шагах. Используйте его для проверки домашних заданий, решения прикладных задач или изучения свойств матриц. Все операции выполняются мгновенно с точностью до 10 знаков после запятой.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.