Калькулятор матриц онлайн – сложение, умножение, определитель

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите размерность матриц – укажите количество строк и столбцов для каждой матрицы (от 2×2 до 5×5).

2. Введите элементы матриц – заполните ячейки числовыми значениями. Можно использовать целые числа, десятичные дроби и отрицательные числа.

3. Выберите операцию – доступны сложение (A + B), вычитание (A − B), умножение (A × B), транспонирование (A^T), определитель (det A), обратная матрица (A^−1), ранг матрицы.

4. Нажмите кнопку «Вычислить» – калькулятор покажет результат и пошаговое решение.

5. Проверьте результат – для операций с определителем и обратной матрицей отображаются промежуточные вычисления.

Для проверки решения задач из учебника используйте режим с пошаговым разложением.

Как производится расчёт

Сложение и вычитание матриц

Операции выполняются поэлементно. Для матриц A и B одинакового размера m×n:

(A ± B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ ± Bᵢⱼ

Пример:

A = [1  2]    B = [5  6]    A + B = [6   8]
    [3  4]        [7  8]            [10  12]

Элемент (1,1): 1 + 5 = 6
Элемент (1,2): 2 + 6 = 8
Элемент (2,1): 3 + 7 = 10
Элемент (2,2): 4 + 8 = 12

Умножение матриц

Для умножения матрицы A (m×n) на матрицу B (n×p) результат C имеет размер m×p:

Cᵢⱼ = Σ(k=1 до n) Aᵢₖ × Bₖⱼ

Пример:

A = [1  2]    B = [5]    A × B = [1×5 + 2×6] = [17]
    [3  4]        [6]            [3×5 + 4×6]   [39]

Определитель матрицы 2×2

det(A) = a₁₁×a₂₂ − a₁₂×a₂₁

Для матрицы 3×3 и выше используется разложение по строке или методы Гаусса.

Практические примеры

Пример 1: Решение системы уравнений

Задача: Найти решение системы 2x + 3y = 8, 4x + y = 10 с помощью обратной матрицы.

Решение: x = 2.5, y = 1

Пример 2: Поворот вектора

Задача: Повернуть вектор (1, 0) на 90° против часовой стрелки.

Матрица поворота:

R = [0  -1]    Вектор v = [1]    R × v = [0]
    [1   0]                [0]            [1]

Результат: вектор (0, 1).

Пример 3: Проверка линейной независимости

Задача: Векторы (1, 2) и (2, 4) – линейно независимы?

Матрица из векторов: [1  2]
                     [2  4]

det = 1×4 − 2×2 = 0

Определитель равен 0 → векторы линейно зависимы (второй вектор = первый × 2).

Полезная информация

Основные термины

Квадратная матрица – матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (n×n).

Единичная матрица – квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных позициях. Обозначается E или I.

Нулевая матрица – все элементы равны нулю.

Симметричная матрица – квадратная матрица, равная своей транспонированной: A = A^T.

Свойства операций

Частые ошибки

Ошибка 1: Попытка перемножить матрицы несовместимых размеров.
✓ Проверяйте: количество столбцов первой = количеству строк второй.

Ошибка 2: Изменение порядка матриц при умножении.
✓ A × B и B × A – это разные результаты (если оба произведения вообще возможны).

Ошибка 3: Деление матриц вместо умножения на обратную.
✓ Вместо A ÷ B используйте A × B⁻¹ (если B⁻¹ существует).

Применение в реальной жизни

Компьютерная графика – повороты, масштабирование и проекции объектов выполняются умножением на матрицы трансформации.

Машинное обучение – нейронные сети оперируют матрицами весов, данные обрабатываются матричными умножениями.

Экономика – модели межотраслевого баланса (матрицы Леонтьева) описывают связи между отраслями.

Физика – квантовая механика использует матрицы для описания операторов и состояний систем.

Методы вычисления определителя

Правило треугольников (Саррюса) – работает только для матриц 3×3. Быстрый метод для ручного счёта.

Метод Гаусса – приведение матрицы к треугольному виду. Эффективен для больших матриц (4×4 и выше).

Разложение по строке/столбцу – рекурсивный метод, используется в учебных целях.

Калькулятор автоматически выбирает оптимальный метод в зависимости от размера матрицы.

Заключение

Калькулятор матриц упрощает решение задач линейной алгебры и проверку ручных вычислений. Используйте пошаговое решение для понимания алгоритмов. Попробуйте разные операции с вашими матрицами прямо сейчас.

Калькулятор предназначен для образовательных целей и проверки решений. При решении экзаменационных задач следуйте требованиям преподавателя к оформлению.

Часто задаваемые вопросы