Калькулятор матриц

Как пользоваться калькулятором матриц

1. Выберите операцию — сложение, вычитание, умножение, транспонирование, определитель, обратная матрица или ранг
2. Укажите размерность матрицы — количество строк и столбцов (например, 3×3, 2×4)
3. Введите элементы матрицы — заполните ячейки числами (целыми или дробными)
4. Для бинарных операций (сложение, вычитание, умножение) введите вторую матрицу
5. Нажмите кнопку расчёта — результат отобразится мгновенно

Калькулятор автоматически проверяет корректность операции (например, совместимость размеров при умножении) и выдаёт пошаговое решение.

Основные операции с матрицами

Сложение и вычитание матриц

Матрицы одинакового размера складываются и вычитаются поэлементно.

Пример: сложение матриц 2×2

A = | 2  3 |    B = | 1  4 |
    | 5  1 |        | 2  0 |

A + B = | 2+1  3+4 | = | 3  7 |
        | 5+2  1+0 |   | 7  1 |

Важно: складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности.

Умножение матриц

Умножение матриц выполняется по правилу “строка на столбец”. Матрицу A размером m×n можно умножить на матрицу B размером n×p, результат будет иметь размер m×p.

Пример: умножение матриц 2×2

A = | 1  2 |    B = | 3  0 |
    | 4  5 |        | 1  2 |

A × B = | 1×3+2×1  1×0+2×2 | = | 5   4 |
        | 4×3+5×1  4×0+5×2 |   | 17  10 |

Алгоритм:

• Элемент (i, j) результата = сумма произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы j-го столбца второй матрицы
• Число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй

Транспонирование матрицы

Транспонирование — это операция, при которой строки матрицы становятся столбцами, а столбцы — строками. Обозначается A^T^.

Пример:

A = | 1  2  3 |        A^T = | 1  4 |
    | 4  5  6 |              | 2  5 |
                              | 3  6 |

Матрица размером m×n после транспонирования становится n×m.

Определитель матрицы

Определитель (детерминант, det или |A|) — числовая характеристика квадратной матрицы.

Для матрицы 2×2:

A = | a  b |    det(A) = ad - bc
    | c  d |

Пример:

A = | 3  2 |    det(A) = 3×1 - 2×4 = 3 - 8 = -5
    | 4  1 |

Для матрицы 3×3 используется правило Саррюса или разложение по строке/столбцу:

A = | 2  1  3 |
    | 0  4  1 |
    | 5  2  0 |

det(A) = 2×(4×0 - 1×2) - 1×(0×0 - 1×5) + 3×(0×2 - 4×5)
       = 2×(-2) - 1×(-5) + 3×(-20)
       = -4 + 5 - 60 = -59

Свойства определителя:

• Если det(A) = 0, матрица вырожденная (не имеет обратной)
• Если det(A) ≠ 0, матрица невырожденная (обратимая)
• det(A^T^) = det(A)
• det(AB) = det(A) × det(B)

Обратная матрица

Обратная матрица A^-1^ существует только для квадратных невырожденных матриц (когда det(A) ≠ 0). Она обладает свойством: A × A^-1^ = A^-1^ × A = E (единичная матрица).

Для матрицы 2×2:

A = | a  b |    A^-1 = 1/det(A) × |  d  -b |
    | c  d |                       | -c   a |

Пример:

A = | 4  7 |    det(A) = 4×2 - 7×1 = 1
    | 1  2 |

A^-1 = 1/1 × |  2  -7 | = |  2  -7 |
             | -1   4 |   | -1   4 |

Проверка: | 4  7 | × |  2  -7 | = | 1  0 | ✓
          | 1  2 |   | -1   4 |   | 0  1 |

Для матриц больших размеров используется метод Гаусса-Жордана или формула через алгебраические дополнения.

Ранг матрицы

Ранг матрицы — максимальное число линейно независимых строк (или столбцов). Обозначается rank(A) или rg(A).

Как найти ранг:

1. Приведите матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса
2. Посчитайте количество ненулевых строк

Пример:

A = | 1  2  3 |     Приводим к ступенчатому виду:
    | 2  4  6 |  →  | 1  2  3 |
    | 1  1  2 |     | 0 -1 -1 |
                    | 0  0  0 |

rank(A) = 2 (две ненулевые строки)

Свойства ранга:

• 0 ≤ rank(A) ≤ min(m, n) для матрицы m×n
• rank(A) = rank(A^T^)
• Если rank(A) = n для квадратной матрицы n×n, то det(A) ≠ 0

Применение матриц

Типичные ошибки при работе с матрицами

1. Неправильный порядок умножения — помните, что A×B ≠ B×A (умножение некоммутативно)
2. Несовместимые размеры — проверяйте условия операций (для сложения нужны одинаковые размеры, для умножения — согласованные)
3. Деление на ноль при поиске обратной матрицы — если det(A) = 0, обратной матрицы не существует
4. Ошибки в вычислении определителя — внимательно следите за знаками при разложении
5. Путаница между транспонированием и обращением — это разные операции с разным смыслом

Полезные формулы

• (A + B)^T^ = A^T^ + B^T^
• (AB)^T^ = B^T^A^T^ (порядок меняется!)
• (A^-1^)^-1^ = A
• (AB)^-1^ = B^-1^A^-1^ (порядок меняется!)
• det(cA) = c^n^ det(A) для матрицы n×n и числа c
• A × 0 = 0 (нулевая матрица)
• A × E = E × A = A (единичная матрица)

Примеры решения задач

Задача 1: Найдите произведение матриц

A = | 2  1 |    B = | 1  3  0 |
    | 0  3 |        | 2  1  4 |

Решение: Размер A: 2×2, размер B: 2×3 → результат будет 2×3

C = A×B = | 2×1+1×2  2×3+1×1  2×0+1×4 | = | 4  7  4  |
          | 0×1+3×2  0×3+3×1  0×0+3×4 |   | 6  3  12 |

Задача 2: Найдите обратную матрицу

A = | 1  2 |
    | 3  4 |

Решение:

1. det(A) = 1×4 - 2×3 = -2 ≠ 0 ✓
2. A^-1^ = 1/(-2) × | 4 -2 | = | -2 1 | |-3 1 | | 1.5 -0.5|

Дисклеймер: Калькулятор предназначен для образовательных и практических целей. При использовании результатов в критически важных расчётах рекомендуется дополнительная проверка. Для работы с матрицами очень больших размеров возможны ограничения производительности браузера.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.