Калькулятор квадратных уравнений

Ручной подсчёт дискриминанта и корней – частый источник арифметических ошибок: потеря минуса перед b, неверное возведение в квадрат, путаница в дробях. Калькулятор квадратных уравнений выше автоматически считает дискриминант и оба корня за долю секунды – достаточно ввести три коэффициента.

Как работает калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор решает уравнения вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Алгоритм основан на классическом методе – вычислении дискриминанта.

Шаг 1. Определите коэффициенты: a – перед x², b – перед x, c – свободный член.

Шаг 2. Рассчитайте дискриминант:

Шаг 3. Найдите корни по формуле:

Если какого-то слагаемого в уравнении нет, соответствующий коэффициент равен 0. Например, в уравнении 5x² − 20 = 0 коэффициент b = 0.

Сколько корней имеет квадратное уравнение?

Количество решений целиком зависит от знака дискриминанта:

Пример для D > 0. Уравнение x² − 5x + 6 = 0:

• D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
• x₁ = (5 + 1) / 2 = 3, x₂ = (5 − 1) / 2 = 2

Пример для D = 0. Уравнение x² − 4x + 4 = 0:

• D = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0
• x = 4 / 2 = 2 (единственный корень)

Пример для D < 0. Уравнение x² + 2x + 5 = 0:

• D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16
• Действительных корней нет

Пошаговый разбор на конкретном примере

Решим уравнение 3x² − 4x + 1 = 0.

1. Коэффициенты: a = 3, b = −4, c = 1.
2. Дискриминант: D = (−4)² − 4 · 3 · 1 = 16 − 12 = 4.
3. Корень из D: √4 = 2.
4. Первый корень: x₁ = (4 + 2) / (2 · 3) = 6 / 6 = 1.
5. Второй корень: x₂ = (4 − 2) / (2 · 3) = 2 / 6 = 1/3 ≈ 0,333.

Проверка по теореме Виета: x₁ + x₂ = 1 + 1/3 = 4/3 = −b/a ✓; x₁ · x₂ = 1 · 1/3 = 1/3 = c/a ✓.

Неполные квадратные уравнения

Неполным называется уравнение, в котором b = 0 или c = 0. Такие уравнения решаются проще – без формулы дискриминанта.

Вид ax² + bx = 0 (c = 0)

Вынесем x за скобки: x(ax + b) = 0. Отсюда два корня:

• x₁ = 0
• x₂ = −b/a

Пример: 2x² − 32x = 0 → x(2x − 32) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 16.

Вид ax² + c = 0 (b = 0)

Переносим c: ax² = −c, тогда x² = −c/a.

• Если −c/a > 0 – два корня: x = ±√(−c/a)
• Если −c/a < 0 – действительных корней нет

Пример: −x² + 9 = 0 → x² = 9 → x₁ = −3, x₂ = 3.

Вид ax² = 0 (b = 0 и c = 0)

Единственный корень x = 0.

Пример: −5x² = 0 → x = 0.

Теорема Виета для проверки

Для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 (где a = 1) сумма и произведение корней связаны с коэффициентами:

• x₁ + x₂ = −p
• x₁ · x₂ = q

Если a ≠ 1, формулы обобщаются:

• x₁ + x₂ = −b/a
• x₁ · x₂ = c/a

Теорема Виета не заменяет формулу дискриминанта, но позволяет быстро проверить результат или устно подобрать корни, когда они целые.

Что происходит при отрицательном дискриминанте?

Когда D < 0, подкоренное выражение отрицательно и действительных корней не существует. В комплексных числах решение есть – вводится мнимая единица i, где i² = −1:

Пример: x² + 2x + 5 = 0, D = −16.

Комплексные корни всегда встречаются парами – они комплексно-сопряжённые. На графике парабола просто не доходит до оси X.

Типичные ошибки при решении

1. Потеря минуса. В уравнении x² − 5x + 6 = 0 коэффициент b = −5, а не 5. При подстановке в формулу (−b) знак меняется на плюс.
2. Возведение отрицательного числа в квадрат. (−4)² = 16, а не −16 – частая ошибка при вычислении b².
3. Неприведённый вид. Уравнение 5 + x² − 3x = 0 нужно сначала переписать как x² − 3x + 5 = 0, иначе коэффициенты определятся неверно.
4. Деление только числителя. В формуле корней на 2a делится вся дробь, а не только √D.

Результаты вычислений носят справочный характер и предназначены для проверки самостоятельного решения.