Калькулятор квадратных уравнений
Ручной подсчёт дискриминанта и корней – частый источник арифметических ошибок: потеря минуса перед b, неверное возведение в квадрат, путаница в дробях. Калькулятор квадратных уравнений выше автоматически считает дискриминант и оба корня за долю секунды – достаточно ввести три коэффициента.
Как работает калькулятор квадратных уравнений
Калькулятор решает уравнения вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Алгоритм основан на классическом методе – вычислении дискриминанта.
Шаг 1. Определите коэффициенты: a – перед x², b – перед x, c – свободный член.
Шаг 2. Рассчитайте дискриминант:
$$D = b^2 - 4ac$$
Шаг 3. Найдите корни по формуле:
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
Если какого-то слагаемого в уравнении нет, соответствующий коэффициент равен 0. Например, в уравнении 5x² − 20 = 0 коэффициент b = 0.
Сколько корней имеет квадратное уравнение?
Количество решений целиком зависит от знака дискриминанта:
| Дискриминант | Количество корней | Что происходит на графике |
|---|---|---|
| D > 0 | Два различных действительных корня | Парабола пересекает ось X в двух точках |
| D = 0 | Один корень кратности 2 | Вершина параболы касается оси X |
| D < 0 | Нет действительных корней (есть два комплексных) | Парабола не пересекает ось X |
Пример для D > 0. Уравнение x² − 5x + 6 = 0:
- D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
- x₁ = (5 + 1) / 2 = 3, x₂ = (5 − 1) / 2 = 2
Пример для D = 0. Уравнение x² − 4x + 4 = 0:
- D = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0
- x = 4 / 2 = 2 (единственный корень)
Пример для D < 0. Уравнение x² + 2x + 5 = 0:
- D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16
- Действительных корней нет
Пошаговый разбор на конкретном примере
Решим уравнение 3x² − 4x + 1 = 0.
- Коэффициенты: a = 3, b = −4, c = 1.
- Дискриминант: D = (−4)² − 4 · 3 · 1 = 16 − 12 = 4.
- Корень из D: √4 = 2.
- Первый корень: x₁ = (4 + 2) / (2 · 3) = 6 / 6 = 1.
- Второй корень: x₂ = (4 − 2) / (2 · 3) = 2 / 6 = 1/3 ≈ 0,333.
Проверка по теореме Виета: x₁ + x₂ = 1 + 1/3 = 4/3 = −b/a ✓; x₁ · x₂ = 1 · 1/3 = 1/3 = c/a ✓.
Неполные квадратные уравнения
Неполным называется уравнение, в котором b = 0 или c = 0. Такие уравнения решаются проще – без формулы дискриминанта.
Вид ax² + bx = 0 (c = 0)
Вынесем x за скобки: x(ax + b) = 0. Отсюда два корня:
- x₁ = 0
- x₂ = −b/a
Пример: 2x² − 32x = 0 → x(2x − 32) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 16.
Вид ax² + c = 0 (b = 0)
Переносим c: ax² = −c, тогда x² = −c/a.
- Если −c/a > 0 – два корня: x = ±√(−c/a)
- Если −c/a < 0 – действительных корней нет
Пример: −x² + 9 = 0 → x² = 9 → x₁ = −3, x₂ = 3.
Вид ax² = 0 (b = 0 и c = 0)
Единственный корень x = 0.
Пример: −5x² = 0 → x = 0.
Теорема Виета для проверки
Для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 (где a = 1) сумма и произведение корней связаны с коэффициентами:
- x₁ + x₂ = −p
- x₁ · x₂ = q
Если a ≠ 1, формулы обобщаются:
- x₁ + x₂ = −b/a
- x₁ · x₂ = c/a
Теорема Виета не заменяет формулу дискриминанта, но позволяет быстро проверить результат или устно подобрать корни, когда они целые.
Что происходит при отрицательном дискриминанте?
Когда D < 0, подкоренное выражение отрицательно и действительных корней не существует. В комплексных числах решение есть – вводится мнимая единица i, где i² = −1:
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$$
Пример: x² + 2x + 5 = 0, D = −16.
$$x_{1,2} = \frac{-2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$
Комплексные корни всегда встречаются парами – они комплексно-сопряжённые. На графике парабола просто не доходит до оси X.
Типичные ошибки при решении
- Потеря минуса. В уравнении x² − 5x + 6 = 0 коэффициент b = −5, а не 5. При подстановке в формулу (−b) знак меняется на плюс.
- Возведение отрицательного числа в квадрат. (−4)² = 16, а не −16 – частая ошибка при вычислении b².
- Неприведённый вид. Уравнение 5 + x² − 3x = 0 нужно сначала переписать как x² − 3x + 5 = 0, иначе коэффициенты определятся неверно.
- Деление только числителя. В формуле корней на 2a делится вся дробь, а не только √D.
Результаты вычислений носят справочный характер и предназначены для проверки самостоятельного решения.