Калькулятор квадратных уравнений онлайн

Калькулятор квадратных уравнений — это удобный онлайн-инструмент для быстрого решения уравнений второй степени. Он автоматически находит корни уравнения вида ax²+bx+c=0, вычисляет дискриминант и предоставляет подробное решение с пояснениями.

Калькулятор квадратных уравнений

Коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0

Что такое квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение второй степени общего вида:

ax² + bx + c = 0

где:

  • a — коэффициент при x² (a ≠ 0)
  • b — коэффициент при x
  • c — свободный член
  • x — неизвестная переменная

Примеры квадратных уравнений

Уравнениеabc
x² - 5x + 6 = 01-56
2x² + 3x - 1 = 023-1
x² - 4 = 010-4
3x² + x = 0310

Как работает калькулятор квадратных уравнений

Для использования калькулятора выполните следующие шаги:

  1. Введите коэффициент a — число перед x²
  2. Введите коэффициент b — число перед x
  3. Введите коэффициент c — свободный член
  4. Нажмите кнопку “Решить”

Калькулятор автоматически:

  • Вычислит дискриминант
  • Определит количество корней
  • Найдет значения корней
  • Покажет подробное решение

Формула решения квадратного уравнения

Дискриминант

Дискриминант вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

Корни уравнения

В зависимости от значения дискриминанта:

  • Если D > 0: два различных действительных корня

    • x₁ = (-b + √D) / 2a
    • x₂ = (-b - √D) / 2a

  • Если D = 0: один корень (корень кратности 2)

    • x = -b / 2a

  • Если D < 0: нет действительных корней

Примеры решения

Пример 1: Два корня

Решим уравнение x² - 5x + 6 = 0

  1. a = 1, b = -5, c = 6
  2. D = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1
  3. Поскольку D > 0, уравнение имеет два корня:
    • x₁ = (5 + √1) / 2 = 6 / 2 = 3
    • x₂ = (5 - √1) / 2 = 4 / 2 = 2

Пример 2: Один корень

Решим уравнение x² - 4x + 4 = 0

  1. a = 1, b = -4, c = 4
  2. D = (-4)² - 4×1×4 = 16 - 16 = 0
  3. Поскольку D = 0, уравнение имеет один корень:
    • x = 4 / 2 = 2

Пример 3: Нет действительных корней

Решим уравнение x² + x + 1 = 0

  1. a = 1, b = 1, c = 1
  2. D = 1² - 4×1×1 = 1 - 4 = -3
  3. Поскольку D < 0, уравнение не имеет действительных корней

Особые случаи квадратных уравнений

Неполные квадратные уравнения

  1. ax² + c = 0 (b = 0)

    • Решение: x = ±√(-c/a), если -c/a ≥ 0

  2. ax² + bx = 0 (c = 0)

    • Решение: x₁ = 0, x₂ = -b/a

  3. ax² = 0 (b = 0, c = 0)

    • Решение: x = 0

Применение квадратных уравнений

Квадратные уравнения широко используются в различных областях:

  • Физика: траектории движения, колебания
  • Экономика: оптимизация прибыли и затрат
  • Инженерия: расчеты конструкций и механизмов
  • Геометрия: площади и объемы фигур
  • Программирование: алгоритмы и математические модели

Советы по решению

  1. Проверяйте знаки коэффициентов при вводе
  2. Упрощайте уравнение перед решением, если возможно
  3. Проверяйте ответы, подставляя найденные корни в исходное уравнение
  4. Обращайте внимание на дискриминант — он определяет характер решения
  5. Используйте калькулятор для избежания вычислительных ошибок

Калькулятор квадратных уравнений поможет вам быстро и точно решить любое уравнение второй степени, предоставив подробное объяснение каждого шага решения.

Часто задаваемые вопросы

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax²+bx+c=0, где a≠0, а x — неизвестная переменная. Коэффициенты a, b и c — это любые действительные числа.

Как найти дискриминант квадратного уравнения?

Дискриминант вычисляется по формуле D = b²-4ac. Он показывает, сколько корней имеет уравнение: если D>0 — два корня, D=0 — один корень, D<0 — нет действительных корней.

Всегда ли квадратное уравнение имеет решение?

В области действительных чисел квадратное уравнение имеет решение только если дискриминант больше или равен нулю. При отрицательном дискриминанте корни существуют только в области комплексных чисел.

Можно ли решить квадратное уравнение без калькулятора?

Да, квадратное уравнение можно решить вручную, используя формулу корней через дискриминант: x = (-b ± √D) / 2a. Калькулятор просто ускоряет этот процесс и исключает ошибки в вычислениях.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.