Калькулятор квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение второй степени общего вида:

ax² + bx + c = 0

где:

• a — коэффициент при x² (a ≠ 0)
• b — коэффициент при x
• c — свободный член
• x — неизвестная переменная

Примеры квадратных уравнений

Как работает калькулятор квадратных уравнений

Для использования калькулятора выполните следующие шаги:

1. Введите коэффициент a — число перед x²
2. Введите коэффициент b — число перед x
3. Введите коэффициент c — свободный член
4. Нажмите кнопку “Решить”

Калькулятор автоматически:

• Вычислит дискриминант
• Определит количество корней
• Найдет значения корней
• Покажет подробное решение

Формула решения квадратного уравнения

Дискриминант

Дискриминант вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

Корни уравнения

В зависимости от значения дискриминанта:

• Если D > 0: два различных действительных корня

  • x₁ = (-b + √D) / 2a
  • x₂ = (-b - √D) / 2a

• Если D = 0: один корень (корень кратности 2)

  • x = -b / 2a

• Если D < 0: нет действительных корней

Примеры решения

Пример 1: Два корня

Решим уравнение x² - 5x + 6 = 0

1. a = 1, b = -5, c = 6
2. D = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1
3. Поскольку D > 0, уравнение имеет два корня:
   • x₁ = (5 + √1) / 2 = 6 / 2 = 3
   • x₂ = (5 - √1) / 2 = 4 / 2 = 2

Пример 2: Один корень

Решим уравнение x² - 4x + 4 = 0

1. a = 1, b = -4, c = 4
2. D = (-4)² - 4×1×4 = 16 - 16 = 0
3. Поскольку D = 0, уравнение имеет один корень:
   • x = 4 / 2 = 2

Пример 3: Нет действительных корней

Решим уравнение x² + x + 1 = 0

1. a = 1, b = 1, c = 1
2. D = 1² - 4×1×1 = 1 - 4 = -3
3. Поскольку D < 0, уравнение не имеет действительных корней

Особые случаи квадратных уравнений

Неполные квадратные уравнения

1. ax² + c = 0 (b = 0)

   • Решение: x = ±√(-c/a), если -c/a ≥ 0

2. ax² + bx = 0 (c = 0)

   • Решение: x₁ = 0, x₂ = -b/a

3. ax² = 0 (b = 0, c = 0)

   • Решение: x = 0

Применение квадратных уравнений

Квадратные уравнения широко используются в различных областях:

• Физика: траектории движения, колебания
• Экономика: оптимизация прибыли и затрат
• Инженерия: расчеты конструкций и механизмов
• Геометрия: площади и объемы фигур
• Программирование: алгоритмы и математические модели

Советы по решению

1. Проверяйте знаки коэффициентов при вводе
2. Упрощайте уравнение перед решением, если возможно
3. Проверяйте ответы, подставляя найденные корни в исходное уравнение
4. Обращайте внимание на дискриминант — он определяет характер решения
5. Используйте калькулятор для избежания вычислительных ошибок

Калькулятор квадратных уравнений поможет вам быстро и точно решить любое уравнение второй степени, предоставив подробное объяснение каждого шага решения.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.