Калькулятор квадратных уравнений — решение онлайн с дискриминантом

Как пользоваться калькулятором

Этот инструмент автоматизирует поиск корней для уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$.

1. Определите коэффициенты. Выделите числа перед $x^2$ (a), перед $x$ (b) и свободный член (c).
2. Введите данные. Заполните соответствующие поля. Если перед $x$ стоит минус, вводите отрицательное число (например, -5).
3. Получите результат. Калькулятор покажет значение дискриминанта ($D$), количество корней ($x_1, x_2$) и пошаговый ход решения.

Если уравнение неполное (например, $2x^2 - 8 = 0$), введите 0 в поле недостающего коэффициента ($b=0$).

Как производится расчёт

Калькулятор использует классический алгоритм решения через дискриминант. Это универсальный метод, подходящий для любых коэффициентов.

Формула дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac$$

Формула корней:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Пример расчёта

Разберем уравнение: $3x^2 - 4x + 1 = 0$

1. Коэффициенты: $a = 3$, $b = -4$, $c = 1$.
2. Дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \times 3 \times 1 = 16 - 12 = 4$$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня.
3. Корни: $\sqrt{D} = 2$ $$x_1 = \frac{4 + 2}{2 \times 3} = \frac{6}{6} = 1$$ $$x_2 = \frac{4 - 2}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.333$$

Практические примеры

Результат зависит от значения дискриминанта. Ниже приведены три основных сценария, с которыми вы можете столкнуться.

Полезная информация

Для успешного решения задач по алгебре важно понимать не только механику подстановки чисел, но и свойства квадратных уравнений.

Основные термины

• Дискриминант (D) — число, определяющее количество корней уравнения. Если $D > 0$ — корней два, $D = 0$ — один, $D < 0$ — корней нет.
• Приведенное уравнение — уравнение, в котором старший коэффициент $a = 1$ (например, $x^2 + 5x + 6 = 0$).
• Парабола — график квадратичной функции. Если $a > 0$, ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз.

Теорема Виета

Для проверки результатов приведенных уравнений ($x^2 + px + q = 0$) удобно использовать теорему Виета. Она гласит:

1. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
2. Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \times x_2 = q$.

Частые ошибки

1. Потеря знака минус. Если в уравнении $x^2 - 5x + 6 = 0$, то коэффициент $b = -5$. Часто ошибочно вводят просто 5.
2. Неправильный порядок. Уравнение $5 + x^2 - 3x = 0$ нужно сначала привести к виду $x^2 - 3x + 5 = 0$, чтобы верно определить $a$, $b$ и $c$.
3. Ошибки в арифметике. Возведение отрицательного числа в квадрат всегда дает положительный результат ($(-4)^2 = 16$), о чем часто забывают при ручном счете.

Заключение

Калькулятор квадратных уравнений помогает проверить домашнее задание, подготовиться к контрольным и исключить вычислительные ошибки. Просто введите коэффициенты, и система покажет дискриминант и корни с подробным решением.

Результаты вычислений носят справочный характер. Калькулятор предназначен для проверки знаний и автоматизации рутинных расчетов в процессе обучения.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.