Метод Крамера

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите размерность системы — количество уравнений и неизвестных (от 2 до 4).
2. Введите коэффициенты — заполните значения при переменных и свободные члены.
3. Нажмите «Решить» — калькулятор вычислит определители и найдет значения всех переменных.
4. Изучите решение — просмотрите пошаговый ход вычислений с промежуточными результатами.

Калькулятор автоматически проверяет, применим ли метод Крамера к введенной системе.

Методология расчета

Метод Крамера основан на правиле Крамера: для системы из n уравнений с n неизвестными каждая переменная находится как отношение двух определителей.

Общая формула

Для системы:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
...
aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ

Решение:

xᵢ = Δᵢ / Δ

где:

• Δ — определитель основной матрицы коэффициентов
• Δᵢ — определитель матрицы, в которой i-й столбец заменен столбцом свободных членов

Пример для системы 2×2

Дана система:

2x + 3y = 8
4x - y = 2

Шаг 1. Вычисляем основной определитель Δ:

Δ = | 2   3 | = 2·(-1) - 3·4 = -2 - 12 = -14
    | 4  -1 |

Шаг 2. Вычисляем Δₓ (заменяем первый столбец):

Δₓ = | 8   3 | = 8·(-1) - 3·2 = -8 - 6 = -14
     | 2  -1 |

Шаг 3. Вычисляем Δᵧ (заменяем второй столбец):

Δᵧ = | 2  8 | = 2·2 - 8·4 = 4 - 32 = -28
     | 4  2 |

Шаг 4. Находим решение:

x = Δₓ / Δ = -14 / -14 = 1
y = Δᵧ / Δ = -28 / -14 = 2

Ответ: x = 1, y = 2

Пример для системы 3×3

Система:

x + 2y + z = 6
2x - y + 3z = 14
3x + y - z = 2

Основной определитель:

Δ = | 1   2   1 |
    | 2  -1   3 | = 1·(-1·(-1) - 3·1) - 2·(2·(-1) - 3·3) + 1·(2·1 - (-1)·3)
    | 3   1  -1 |

Δ = 1·(1 - 3) - 2·(-2 - 9) + 1·(2 + 3) = -2 + 22 + 5 = 25

Определитель для x:

Δₓ = | 6   2   1 |
     | 14 -1   3 | = 50
     | 2   1  -1 |

x = 50 / 25 = 2

Аналогично находятся y и z.

Основные понятия

Определитель (детерминант) — числовая характеристика квадратной матрицы, показывающая, обратима ли матрица.

Условие применимости — определитель основной матрицы должен быть ≠ 0. Если Δ = 0, система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений.

Совместная система — система, имеющая хотя бы одно решение.

Определенная система — система с единственным решением (когда Δ ≠ 0).

Вычисление определителей

Для матрицы 2×2

| a  b |
| c  d | = ad - bc

Для матрицы 3×3 (правило Саррюса)

| a₁ b₁ c₁ |
| a₂ b₂ c₂ | = a₁b₂c₃ + b₁c₂a₃ + c₁a₂b₃ - c₁b₂a₃ - b₁a₂c₃ - a₁c₂b₃
| a₃ b₃ c₃ |

Также можно разложить по строке или столбцу.

Для больших матриц

Используется разложение по строке/столбцу или метод приведения к треугольному виду.

Преимущества и ограничения

Преимущества

• Прямые формулы — не требуется последовательное исключение переменных
• Наглядность — каждая переменная вычисляется независимо
• Простота для малых систем — быстрое решение систем 2×2 и 3×3

Ограничения

Для систем размером больше 3×3 эффективнее метод Гаусса или LU-разложение.

Типичные ошибки

1. Неправильная замена столбцов

При вычислении Δᵢ нужно заменять именно i-й столбец (соответствующий переменной xᵢ), а не строку.

2. Ошибки в знаках при вычислении определителя

Следите за чередованием знаков при разложении определителя 3×3.

3. Попытка применить метод при Δ = 0

Всегда проверяйте основной определитель. Если он равен нулю, метод Крамера не даст решения.

4. Путаница в индексах

Коэффициенты aᵢⱼ: i — номер уравнения (строка), j — номер переменной (столбец).

Практические советы

• Проверяйте ответ — подставьте найденные значения в исходные уравнения
• Упрощайте коэффициенты — умножьте уравнения на числа, чтобы получить целые коэффициенты
• Для больших систем — используйте калькулятор или метод Гаусса
• Изучайте шаги — понимание метода важнее механического применения

Калькулятор предназначен для образовательных целей и проверки решений. При решении контрольных работ рекомендуется выполнять вычисления вручную с проверкой на калькуляторе.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.