Калькулятор комплексных чисел онлайн

Калькулятор комплексных чисел — это удобный онлайн-инструмент для выполнения арифметических операций с комплексными числами. Он позволяет быстро складывать, вычитать, умножать и делить комплексные числа, а также находить их модуль, аргумент и выполнять другие математические операции.

Калькулятор комплексных чисел
Выберите операцию с комплексными числами
Первое комплексное число (z₁)
Второе комплексное число (z₂)

Примечание: Калькулятор выполняет точные вычисления с комплексными числами. Для изучения теории и дополнительных примеров обратитесь к учебным материалам по высшей математике.

Что такое комплексные числа

Комплексные числа — это расширение множества действительных чисел, которые включают мнимую единицу i, где i² = -1. Любое комплексное число можно записать в виде z = a + bi, где:

  • a — действительная часть (Re(z))
  • b — мнимая часть (Im(z))
  • i — мнимая единица

Примеры комплексных чисел:

  • 3 + 4i
  • 2 - 5i
  • -1 + 7i
  • 6 (действительное число, b = 0)
  • 3i (чисто мнимое число, a = 0)

Как пользоваться калькулятором

  1. Введите первое комплексное число в формате a+bi или a-bi
  2. Выберите операцию (сложение, вычитание, умножение, деление и др.)
  3. Введите второе комплексное число (если требуется)
  4. Нажмите кнопку “Вычислить”
  5. Получите результат в различных формах записи

Форматы ввода:

ФорматПримерОписание
a+bi3+4iСтандартная форма
a-bi2-5iС отрицательной мнимой частью
a7Действительное число
bi3iЧисто мнимое число

Основные операции с комплексными числами

Сложение и вычитание

При сложении и вычитании комплексных чисел действительные и мнимые части складываются отдельно:

  • (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Пример:

  • (3 + 4i) + (2 + 5i) = 5 + 9i
  • (7 - 2i) - (3 + i) = 4 - 3i

Умножение

Умножение выполняется по правилу раскрытия скобок с учетом того, что i² = -1:

(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Пример:

  • (3 + 2i) × (1 + 4i) = 3 + 12i + 2i + 8i² = 3 + 14i - 8 = -5 + 14i

Деление

Деление выполняется путем умножения на комплексно сопряженное число:

(a + bi) ÷ (c + di) = (a + bi) × (c - di) ÷ (c² + d²)

Пример:

  • (4 + 2i) ÷ (2 + i) = (4 + 2i)(2 - i) ÷ (4 + 1) = (8 - 4i + 4i - 2i²) ÷ 5 = 10 ÷ 5 = 2

Модуль и аргумент комплексного числа

Модуль (абсолютное значение)

Модуль комплексного числа z = a + bi вычисляется по формуле:

|z| = √(a² + b²)

Геометрически модуль представляет расстояние от начала координат до точки (a, b) на комплексной плоскости.

Аргумент

Аргумент комплексного числа — это угол φ, который образует вектор числа с положительной действительной осью:

φ = arctan(b/a)

Формы записи комплексных чисел

Калькулятор может представлять результаты в различных формах:

1. Алгебраическая форма

z = a + bi — стандартная запись через действительную и мнимую части.

2. Тригонометрическая форма

z = r(cos φ + i sin φ), где:

  • r = |z| — модуль
  • φ — аргумент

3. Экспоненциальная форма

z = re^(iφ) — компактная запись через модуль и аргумент.

Практические применения

Комплексные числа используются в различных областях:

  • Электротехника — анализ переменного тока
  • Теория сигналов — преобразования Фурье
  • Квантовая механика — волновые функции
  • Компьютерная графика — повороты и трансформации
  • Теория управления — анализ устойчивости систем

Полезные свойства

При работе с комплексными числами помните:

  • Коммутативность: z₁ + z₂ = z₂ + z₁ и z₁ × z₂ = z₂ × z₁
  • Ассоциативность: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
  • Дистрибутивность: z₁ × (z₂ + z₃) = z₁ × z₂ + z₁ × z₃
  • Комплексное сопряжение: ̄z = a - bi для z = a + bi

Наш калькулятор комплексных чисел поможет вам быстро и точно выполнить любые вычисления с комплексными числами, предоставляя подробные решения и результаты в удобном формате.

Часто задаваемые вопросы

Как записать комплексное число в калькуляторе?

Комплексное число записывается в виде a+bi, где a — действительная часть, b — мнимая часть, i — мнимая единица. Например: 3+4i или 2-5i.

Какие операции можно выполнять с комплексными числами?

Калькулятор поддерживает сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, нахождение модуля и аргумента комплексного числа.

В каком виде калькулятор показывает результат?

Результат отображается в алгебраической форме (a+bi), тригонометрической форме (r(cos φ + i sin φ)) и экспоненциальной форме (re^(iφ)).

Можно ли работать с отрицательными мнимыми частями?

Да, калькулятор корректно обрабатывает комплексные числа с отрицательными мнимыми частями. Записывайте их в виде a-bi.