Калькулятор комплексных чисел

Как пользоваться калькулятором

1. Введите первое комплексное число в формате a + bi, где a — действительная часть, b — мнимая часть (например, 3 + 4i)
2. Выберите операцию: сложение (+), вычитание (-), умножение (×), деление (÷)
3. Введите второе комплексное число в том же формате (для бинарных операций)
4. Нажмите “Рассчитать” — результат появится с пошаговым решением
5. Дополнительные функции: модуль, аргумент, сопряженное число, возведение в степень

Форматы ввода

• Алгебраическая форма: 2 + 3i, -5 - 7i, 4i (чисто мнимое), 6 (действительное)
• Допустимы пробелы: 2+3i или 2 + 3i
• Отрицательные числа: -2 - 3i

Основные операции с комплексными числами

Сложение и вычитание

Складываются/вычитаются отдельно действительные и мнимые части:

(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i

Пример:

• (3 + 4i) + (2 - 5i) = (3 + 2) + (4 - 5)i = 5 - i
• (7 + 2i) - (3 + 6i) = (7 - 3) + (2 - 6)i = 4 - 4i

Умножение

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Раскрываем скобки и учитываем, что i² = -1.

Пример: (2 + 3i)(4 + 5i) = 2×4 + 2×5i + 3i×4 + 3i×5i = 8 + 10i + 12i + 15i² = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i

Деление

Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю:

(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)

Пример: (6 + 8i) / (3 + 4i)

Сопряженное к (3 + 4i) → (3 - 4i)

Числитель: (6 + 8i)(3 - 4i) = 18 - 24i + 24i - 32i² = 18 + 32 = 50

Знаменатель: (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16 = 25

Результат: 50/25 = 2

Модуль и аргумент комплексного числа

Модуль (абсолютное значение)

|z| = |a + bi| = √(a² + b²)

Показывает расстояние от точки (a, b) до начала координат на комплексной плоскости.

Пример: |3 + 4i| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Аргумент

arg(z) = φ = arctan(b/a)

Угол в радианах (или градусах) между положительным направлением оси X и радиус-вектором.

Важно: учитывайте квадрант:

• I квадрант (a > 0, b > 0): φ = arctan(b/a)
• II квадрант (a < 0, b > 0): φ = π + arctan(b/a)
• III квадрант (a < 0, b < 0): φ = -π + arctan(b/a)
• IV квадрант (a > 0, b < 0): φ = arctan(b/a)

Пример: arg(1 + i) = arctan(1/1) = π/4 ≈ 0.785 рад или 45°

Тригонометрическая форма

Комплексное число можно представить в тригонометрической форме:

z = r(cos φ + i sin φ) = r·e^(iφ)

где r — модуль, φ — аргумент.

Преобразование из алгебраической формы

1. Вычислите модуль: r = √(a² + b²)
2. Найдите аргумент: φ = arctan(b/a)
3. Запишите: z = r(cos φ + i sin φ)

Пример: z = 1 + √3i

• r = √(1² + (√3)²) = √4 = 2
• φ = arctan(√3/1) = π/3 ≈ 60°
• z = 2(cos 60° + i sin 60°)

Преобразование в алгебраическую форму

a = r cos φ, b = r sin φ

Пример: z = 4(cos 30° + i sin 30°)

• a = 4 cos 30° = 4 × (√3/2) = 2√3
• b = 4 sin 30° = 4 × 0.5 = 2
• z = 2√3 + 2i

Возведение в степень и извлечение корня

Формула Муавра (для целых степеней)

z^n = [r(cos φ + i sin φ)]^n = r^n(cos nφ + i sin nφ)

Пример: (1 + i)³

• r = √2, φ = π/4
• (1 + i)³ = (√2)³[cos(3π/4) + i sin(3π/4)] = 2√2[-√2/2 + i√2/2] = -2 + 2i

Извлечение корня n-й степени

ⁿ√z = ⁿ√r[cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)], где k = 0, 1, 2, …, n-1

Комплексное число имеет n различных корней n-й степени.

Пример: √(-4)

• -4 = 4(cos π + i sin π)
• k = 0: √4[cos(π/2) + i sin(π/2)] = 2i
• k = 1: √4[cos(3π/2) + i sin(3π/2)] = -2i

Сопряженное комплексное число

Сопряженное число z̄ = a - bi (меняется знак мнимой части).

Свойства сопряженных чисел

Пример: z = 3 + 4i, z̄ = 3 - 4i

• z × z̄ = (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16 = 25 = |z|²

Практические применения

Электротехника

Комплексные числа описывают импеданс в цепях переменного тока:

• Z = R + jX, где R — активное сопротивление, X — реактивное сопротивление
• j используется вместо i в инженерной нотации

Пример: Последовательное соединение: Z₁ = 3 + 4j Ом, Z₂ = 1 - 2j Ом Общий импеданс: Z = Z₁ + Z₂ = (3 + 1) + (4 - 2)j = 4 + 2j Ом

Обработка сигналов

Преобразование Фурье использует комплексные экспоненты для разложения сигналов на частотные компоненты.

Квантовая механика

Волновые функции — комплекснозначные, вероятность определяется как |ψ|².

Типичные ошибки при работе с комплексными числами

1. Забывают, что i² = -1 при умножении
2. Неправильно определяют квадрант при вычислении аргумента
3. Путают модуль с действительной частью — это разные величины
4. Не умножают на сопряженное при делении, получая неверный результат
5. Забывают о множественности корней — у комплексного числа n корней n-й степени

Советы для эффективных вычислений

• Используйте тригонометрическую форму для умножения, деления и возведения в степень — расчеты проще
• Проверяйте результат через модуль: |z₁ × z₂| = |z₁| × |z₂|, |z₁ / z₂| = |z₁| / |z₂|
• Визуализируйте на комплексной плоскости — помогает понять геометрический смысл операций
• Запоминайте основные значения: i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, далее цикл повторяется
• Для проверки деления умножьте результат на делитель — должно получиться делимое

Данный калькулятор предназначен для образовательных и практических целей. При использовании в критически важных расчетах рекомендуется дополнительная проверка результатов.

Часто задаваемые вопросы