Калькулятор комплексных чисел – сложение, умножение, деление онлайн
Комплексные числа используются в электротехнике, физике и высшей математике, но вручную выполнять операции с ними долго и легко ошибиться. Калькулятор комплексных чисел автоматически считает сумму, разность, произведение, частное, модуль, аргумент и сопряжённое число.
Результат:
| Параметр | Значение |
|---|
Пошаговое решение
Проверочные примеры из статьи
| Операция | z₁ | z₂ | Результат |
|---|---|---|---|
| Сложение | 3 + 2i | 1 + 5i | 4 + 7i |
| Сложение | −2 + 4i | 5 − 1i | 3 + 3i |
| Умножение | 1 + i | 1 + i | 0 + 2i |
| Умножение | 2 + 3i | 4 − i | 11 + 10i |
| Деление | 6 + 8i | 3 − 4i | −0.56 + 1.92i |
Содержание статьи
Как пользоваться калькулятором
Калькулятор работает с комплексными числами в алгебраической форме z = a + bi, где a – действительная часть, b – мнимая часть, i – мнимая единица.
Входные данные:
Действительная часть первого числа (a₁) – число без мнимой единицы. Диапазон: от −1 000 000 до 1 000 000. Допускаются целые и десятичные значения: 3, −2.5, 0, 100. Тип ввода: число.
Мнимая часть первого числа (b₁) – коэффициент при мнимой единице i. Диапазон: от −1 000 000 до 1 000 000. Примеры: если число 3 + 2i, то b₁ = 2; если 5 − 3i, то b₁ = −3. Тип ввода: число.
Действительная часть второго числа (a₂) – аналогично первому числу. Диапазон: от −1 000 000 до 1 000 000. Тип ввода: число.
Мнимая часть второго числа (b₂) – аналогично первому числу. Диапазон: от −1 000 000 до 1 000 000. Тип ввода: число.
Операция – выбор из списка: сложение (+), вычитание (−), умножение (×), деление (÷), модуль |z|, аргумент arg(z), сопряжённое z*, возведение в степень. Тип ввода: выбор из вариантов.
Что показывает результат:
- Результат операции в алгебраической форме a + bi
- Модуль комплексного числа |z| = √(a² + b²)
- Аргумент φ в радианах и градусах (угол к действительной оси)
- Показательная форма z = |z|·e^(iφ)
- Пошаговое решение для понимания хода вычислений
При делении на ноль калькулятор покажет предупреждение: деление невозможно, так как модуль делителя равен нулю.
Используйте результат для проверки домашних заданий, инженерных расчётов или анализа электрических цепей.
Формулы расчёта комплексных чисел
Сложение:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Вычитание:
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Умножение:
(a + bi) × (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Деление:
(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)
Модуль:
|z| = √(a² + b²)
Аргумент:
φ = arctg(b/a), с учётом четверти комплексной плоскости
Пример умножения: (2 + 3i) × (1 − 2i)
- Действительная часть: 2×1 − 3×(−2) = 2 + 6 = 8
- Мнимая часть: 2×(−2) + 3×1 = −4 + 3 = −1
- Результат: 8 − i
Примеры расчёта
Сложение комплексных чисел
| Первое число | Второе число | Результат |
|---|---|---|
| 3 + 2i | 1 + 5i | 4 + 7i |
| −2 + 4i | 5 − 1i | 3 + 3i |
| 0 + 3i | 4 + 0i | 4 + 3i |
Умножение комплексных чисел
| Первое число | Второе число | Результат |
|---|---|---|
| 1 + i | 1 + i | 0 + 2i |
| 2 + 3i | 4 − i | 11 + 10i |
| 3 − 2i | 3 + 2i | 13 + 0i |
Модуль и аргумент
| Комплексное число | Модуль | Аргумент (градусы) |
|---|---|---|
| 1 + i | 1,414 | 45° |
| 3 + 4i | 5 | 53,13° |
| −2 + 2i | 2,828 | 135° |
| −1 − √3i | 2 | −120° или 240° |
Деление комплексных чисел
Для примера: (6 + 8i) ÷ (3 − 4i)
- Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое (3 + 4i)
- Числитель: (6 + 8i)(3 + 4i) = 18 + 24i + 24i − 32 = −14 + 48i
- Знаменатель: 9 + 16 = 25
- Результат: −0,56 + 1,92i
Полезная информация
Частые ошибки при вычислениях
Потеря знака мнимой части. При записи числа 5 − 3i мнимая часть равна −3, а не 3. Это меняет результат умножения и деления.
Неверное определение четверти для аргумента. Формула arctg(b/a) даёт угол в правильной четверти только при a > 0. Если a < 0, добавьте или вычтите 180° в зависимости от знака b.
Деление на ноль. Модуль делителя должен быть больше нуля. Если c² + d² = 0, деление невозможно.
Ошибка при возведении i в степень. Запомните цикл: i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1. Далее повторяется.
Формы записи комплексного числа
Алгебраическая форма: z = a + bi – удобна для сложения и вычитания.
Тригонометрическая форма: z = |z|(cos φ + i sin φ) – используется в теории рядов и интегралов.
Показательная форма: z = |z|·e^(iφ) – упрощает умножение, деление и возведение в степень. При умножении модули перемножаются, аргументы складываются.
Где применяются комплексные числа
Электротехника: расчёт цепей переменного тока, импеданс, комплексная мощность. Мнимая единица обозначается j.
Теория управления: передаточные функции, анализ устойчивости систем.
Обработка сигналов: преобразование Фурье, фильтрация, анализ частот.
Квантовая механика: волновая функция описывается комплексными числами.
Итог
Калькулятор комплексных чисел выполняет базовые и продвинутые операции: от сложения до нахождения модуля и аргумента. Введите действительные и мнимые части двух чисел, выберите операцию – и получите результат с пошаговым решением.
Часто задаваемые вопросы
Как складывать комплексные числа?
Складывайте отдельно действительные и мнимые части: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Например, (3 + 2i) + (1 + 5i) = 4 + 7i.
Что такое мнимая единица i?
Мнимая единица i – это число, квадрат которого равен −1: i² = −1. В электротехнике часто обозначается как j, чтобы не путать с током.
Как найти модуль комплексного числа?
Модуль |z| = √(a² + b²), где a – действительная часть, b – мнимая. Это расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости.
Чем отличается алгебраическая форма от показательной?
Алгебраическая форма: z = a + bi. Показательная форма: z = |z|·e^(iφ), где |z| – модуль, φ – аргумент. Показательная форма удобна для умножения и деления.
Как делить комплексные числа?
Умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Знаменатель станет действительным числом.
Где применяются комплексные числа?
В электротехнике для расчёта цепей переменного тока, в квантовой механике, в обработке сигналов, при решении дифференциальных уравнений и в теории управления.