Обновлено:

Калькулятор комплексных чисел

Комплексные числа — важный математический инструмент, применяемый в физике, электротехнике, обработке сигналов и инженерных расчетах. Калькулятор комплексных чисел онлайн позволяет быстро выполнять арифметические операции, находить модуль, аргумент и переводить числа между алгебраической и тригонометрической формами без сложных вычислений вручную.

Первое комплексное число
Операция
Второе комплексное число

Как пользоваться калькулятором

  1. Введите первое комплексное число в формате a + bi, где a — действительная часть, b — мнимая часть (например, 3 + 4i)
  2. Выберите операцию: сложение (+), вычитание (-), умножение (×), деление (÷)
  3. Введите второе комплексное число в том же формате (для бинарных операций)
  4. Нажмите “Рассчитать” — результат появится с пошаговым решением
  5. Дополнительные функции: модуль, аргумент, сопряженное число, возведение в степень

Форматы ввода

Основные операции с комплексными числами

Сложение и вычитание

Складываются/вычитаются отдельно действительные и мнимые части:

(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i

Пример:

Умножение

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Раскрываем скобки и учитываем, что i² = -1.

Пример: (2 + 3i)(4 + 5i) = 2×4 + 2×5i + 3i×4 + 3i×5i = 8 + 10i + 12i + 15i² = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i

Деление

Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю:

(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)

Пример: (6 + 8i) / (3 + 4i)

Сопряженное к (3 + 4i) → (3 - 4i)

Числитель: (6 + 8i)(3 - 4i) = 18 - 24i + 24i - 32i² = 18 + 32 = 50

Знаменатель: (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16 = 25

Результат: 50/25 = 2

Модуль и аргумент комплексного числа

Модуль (абсолютное значение)

|z| = |a + bi| = √(a² + b²)

Показывает расстояние от точки (a, b) до начала координат на комплексной плоскости.

Пример: |3 + 4i| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Аргумент

arg(z) = φ = arctan(b/a)

Угол в радианах (или градусах) между положительным направлением оси X и радиус-вектором.

Важно: учитывайте квадрант:

Пример: arg(1 + i) = arctan(1/1) = π/4 ≈ 0.785 рад или 45°

Тригонометрическая форма

Комплексное число можно представить в тригонометрической форме:

z = r(cos φ + i sin φ) = r·e^(iφ)

где r — модуль, φ — аргумент.

Преобразование из алгебраической формы

  1. Вычислите модуль: r = √(a² + b²)
  2. Найдите аргумент: φ = arctan(b/a)
  3. Запишите: z = r(cos φ + i sin φ)

Пример: z = 1 + √3i

Преобразование в алгебраическую форму

a = r cos φ, b = r sin φ

Пример: z = 4(cos 30° + i sin 30°)

Возведение в степень и извлечение корня

Формула Муавра (для целых степеней)

z^n = [r(cos φ + i sin φ)]^n = r^n(cos nφ + i sin nφ)

Пример: (1 + i)³

Извлечение корня n-й степени

ⁿ√z = ⁿ√r[cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)], где k = 0, 1, 2, …, n-1

Комплексное число имеет n различных корней n-й степени.

Пример: √(-4)

Сопряженное комплексное число

Сопряженное число z̄ = a - bi (меняется знак мнимой части).

Свойства сопряженных чисел

ОперацияРезультат
z + z̄2a (действительное число)
z - z̄2bi (мнимое число)
z × z̄a² + b² =z²
z / z̄Действительное число × i

Пример: z = 3 + 4i, z̄ = 3 - 4i

Практические применения

Электротехника

Комплексные числа описывают импеданс в цепях переменного тока:

Пример: Последовательное соединение: Z₁ = 3 + 4j Ом, Z₂ = 1 - 2j Ом Общий импеданс: Z = Z₁ + Z₂ = (3 + 1) + (4 - 2)j = 4 + 2j Ом

Обработка сигналов

Преобразование Фурье использует комплексные экспоненты для разложения сигналов на частотные компоненты.

Квантовая механика

Волновые функции — комплекснозначные, вероятность определяется как |ψ|².

Типичные ошибки при работе с комплексными числами

  1. Забывают, что i² = -1 при умножении
  2. Неправильно определяют квадрант при вычислении аргумента
  3. Путают модуль с действительной частью — это разные величины
  4. Не умножают на сопряженное при делении, получая неверный результат
  5. Забывают о множественности корней — у комплексного числа n корней n-й степени

Советы для эффективных вычислений

Данный калькулятор предназначен для образовательных и практических целей. При использовании в критически важных расчетах рекомендуется дополнительная проверка результатов.

Часто задаваемые вопросы

Как перемножить два комплексных числа?

Перемножайте комплексные числа по формуле (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. Введите оба числа в калькулятор, выберите операцию умножения — результат появится мгновенно с подробным решением.

Как разделить комплексные числа?

Для деления (a + bi) / (c + di) умножьте числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю (c - di). Калькулятор автоматически выполнит преобразования и упростит результат.

Что такое модуль комплексного числа?

Модуль комплексного числа z = a + bi — это расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости, вычисляется по формуле |z| = √(a² + b²).

Как найти аргумент комплексного числа?

Аргумент — это угол φ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки. Вычисляется как φ = arctan(b/a) с учетом квадранта на комплексной плоскости.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.