Калькулятор интегралов с решением онлайн

Интегрирование — одна из фундаментальных операций в математическом анализе, обратная дифференцированию. Наш бесплатный калькулятор интегралов поможет вам быстро проверить домашнее задание, подготовиться к экзаменам или выполнить сложные инженерные расчеты. Вы сможете найти как неопределенные, так и определенные интегралы (площадь криволинейной трапеции).

Как пользоваться калькулятором

Инструмент разработан так, чтобы быть интуитивно понятным даже для тех, кто только начинает знакомство с высшей математикой.

1. Введите функцию: В поле ввода запишите математическое выражение, которое нужно проинтегрировать. Используйте стандартные обозначения (например, x^2 для возведения в степень, sin(x) для синуса).
2. Выберите переменную: Обычно интегрирование ведется по переменной x, но если у вас сложная функция с несколькими параметры, укажите нужную переменную.
3. Укажите пределы (опционально):
   • Оставьте поля пределов пустыми, если вам нужно найти неопределенный интеграл (первообразную).
   • Заполните поля “От” и “До”, если требуется вычислить определенный интеграл.
4. Нажмите кнопку расчета: Калькулятор мгновенно обработает запрос и выдаст ответ.

Основные понятия интегрирования

Чтобы правильно интерпретировать результаты, важно понимать разницу между двумя основными типами интегралов.

Неопределенный интеграл

Это поиск функции $F(x)$, производная которой равна исходной функции $f(x)$. Так как производная от константы равна нулю, к ответу всегда добавляется постоянная интегрирования $C$. Результат записывается в виде: $\int f(x) dx = F(x) + C$.

Определенный интеграл

Это число, которое геометрически представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$. Результат записывается как числовое значение (без $C$). Вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.

Примеры вычислений

Рассмотрим несколько простых примеров, чтобы понять принцип работы формул.

Пример 1: Простая степенная функция

Задача: Найти неопределенный интеграл от функции $3x^2$.

Решение: Используем формулу интегрирования степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

1. Выносим константу 3 за знак интеграла: $3 \cdot \int x^2 dx$.
2. Применяем формулу к $x^2$: получаем $\frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.
3. Умножаем на константу 3: $3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.
4. Не забываем добавить $C$.

Ответ: $x^3 + C$.

Пример 2: Определенный интеграл

Задача: Вычислить $\int_0^2 (2x + 1) dx$.

Решение:

1. Сначала найдем первообразную для функции $2x + 1$.
   • Интеграл от $2x$ равен $x^2$.
   • Интеграл от $1$ равен $x$.
   • Первообразная $F(x) = x^2 + x$.
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница на отрезке от 0 до 2.
   • Подставим верхний предел (2): $F(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$.
   • Подставим нижний предел (0): $F(0) = 0^2 + 0 = 0$.
3. Разность значений: $6 - 0 = 6$.

Ответ: 6.

Частые методы решения

Сложные интегралы часто требуют специальных приемов преобразования.

Метод подстановки (замена переменной)

Сложную часть функции заменяют новой переменной (например, $t$), чтобы привести интеграл к табличному виду. После нахождения решения выполняется обратная замена.

Интегрирование по частям

Используется для произведений функций. Основано на формуле: $\int u dv = uv - \int v du$. Это позволяет упростить выражение, перенеся производную с одной части функции на другую.

Зачем использовать онлайн-калькулятор?

Даже если вы отлично знаете математику, использование автоматического инструмента имеет ряд преимуществ:

• Исключение арифметических ошибок: Машина не ошибается в знаках и простых вычислениях.
• Экономия времени: Мгновенный ответ вместо ручного расписывания страниц формул.
• Проверка себя: Отличный способ сверить свой ответ с эталонным после самостоятельного решения задачи.

Используйте наш виджет для быстрой и точной работы с интегралами любой сложности.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.