Калькулятор двоичной системы
Двоичная система счисления – основа работы процессоров и цифровой логики. Каждая операция в компьютере сводится к манипуляциям с последовательностями нулей и единиц. Ручной перевод десятичных чисел в бинарный формат занимает время и чреват ошибками при больших разрядах, поэтому для быстрого преобразования используют автоматизированные инструменты.
Калькулятор выше выполняет мгновенный перевод введённого числа из привычной десятичной системы в двоичную, а также автоматически конвертирует его в восьмеричную (OCT) и шестнадцатеричную (HEX) системы. Для обратного перевода достаточно ввести двоичное число – результат отобразится в десятичном виде.
Как перевести десятичное число в двоичное?
Алгоритм последовательного деления работает для любого целого положительного числа:
- Делите число на 2. Запишите остаток (0, если число чётное, 1 – если нечётное).
- Целый результат снова делите на 2. Записывайте остатки.
- Повторяйте, пока в частном не получится 0.
- Запишите остатки в обратном порядке – от последнего к первому.
Пример: переведём число 45.
- 45 ÷ 2 = 22, остаток 1
- 22 ÷ 2 = 11, остаток 0
- 11 ÷ 2 = 5, остаток 1
- 5 ÷ 2 = 2, остаток 1
- 2 ÷ 2 = 1, остаток 0
- 1 ÷ 2 = 0, остаток 1
Читаем снизу вверх: 101 101. Проверка: 32+8+4+1 = 45.
Как перевести двоичное число в десятичное?
Каждая позиция цифры в двоичном числе имеет вес, равный степени 2. Нумерация ведётся справа налево, начиная с 0.
Формула:
\[ N*{10} = \sum*{i=0}^{n} d_i \times 2^i \]где \(d_i\) – цифра (0 или 1) на позиции \(i\).
Пример: возьмём число 110 101.
| Позиция (i) | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Цифра (d) | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| Вес (2^i) | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Суммируем только те веса, где стоят единицы: 32 + 16 + 4 + 1 = 53.
Как выполнять арифметические операции вручную?
Сложение выполняется поразрядно справа налево с учётом переноса:
1 0 1 1 0 (22 в десятичной)
+ 0 1 1 0 1 (13 в десятичной)
-----------
1 0 0 0 1 1 (35 в десятичной)
В третьем столбце справа: 1 + 1 = 10 (пишем 0, переносим 1 в следующий разряд).
Вычитание использует заём из старшего разряда, если вычитаемое больше уменьшаемого в текущем столбце. В процессорах вычитание заменяют сложением с дополнительным кодом вычитаемого.
Связь с восьмеричной и шестнадцатеричной системами
Двоичные числа длинны и нечитаемы для человека. Чтобы упростить запись, используют группировку бит:
- По 3 бита → восьмеричная система (0–7). Например, 101 110 = 56₈.
- По 4 бита → шестнадцатеричная система (0–F). Например, 1011 1100 = BC₁₆.
Это позволяет записать 32-битное число всего в 8 символах HEX вместо 32 цифр в двоичном виде.