Калькулятор двоичной системы

Двоичная система – язык, на котором «думают» все компьютеры. Программисты, инженеры и студенты регулярно выполняют расчёты с двоичными числами: от простого сложения до побитовых операций. Калькулятор двоичной системы упрощает эту работу, мгновенно выполняя арифметические и логические операции с пошаговым разбором.

Что такое двоичная система счисления

Двоичная система – позиционная система счисления с основанием 2. В ней используются только две цифры: 0 и 1. Каждая позиция в числе соответствует степени двойки, начиная с 2⁰ = 1 справа.

Пример: 1101₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀

Компьютеры используют двоичную систему, потому что электронные схемы имеют два устойчивых состояния: высокий сигнал (1) и низкий (0). Это обеспечивает надёжность хранения и обработки данных.

Таблица соответствия двоичных и десятичных чисел

Арифметические операции в двоичной системе

Сложение двоичных чисел

Правила двоичного сложения:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (пишем 0, переносим 1)
• 1 + 1 + 1 = 11 (пишем 1, переносим 1)

Пример: 1011 + 1101

    1011  (11)
  + 1101  (13)
  ------
   11000  (24)

Вычитание двоичных чисел

Правила вычитания:

• 0 − 0 = 0
• 1 − 0 = 1
• 1 − 1 = 0
• 0 − 1 = 1 (заём из старшего разряда)

Пример: 1111 − 1010

    1111  (15)
  - 1010  (10)
  ------
    0101  (5)

Умножение двоичных чисел

Двоичное умножение проще десятичного, так как множитель состоит только из 0 и 1:

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

Пример: 101 × 11

      101  (5)
    ×  11  (3)
    -----
      101
     101
    -----
     1111  (15)

Деление двоичных чисел

Деление выполняется аналогично делению в столбик в десятичной системе, но с использованием двоичного вычитания.

Пример: 1111 ÷ 11

    1111 ÷ 11 = 101  (15 ÷ 3 = 5)

Побитовые операции

Побитовые операции работают с отдельными битами числа. Они широко применяются в программировании для масок, флагов и оптимизации.

Операция AND (И)

Возвращает 1, только если оба бита равны 1. Обозначается символом &.

  1010  (10)
& 1100  (12)
------
  1000  (8)

Применяется для извлечения определённых битов и создания масок.

Операция OR (ИЛИ)

Возвращает 1, если хотя бы один бит равен 1. Обозначается символом |.

  1010  (10)
| 1100  (12)
------
  1110  (14)

Используется для установки определённых битов в 1.

Операция XOR (Исключающее ИЛИ)

Возвращает 1, если биты различны. Обозначается символом ^.

  1010  (10)
^ 1100  (12)
------
  0110  (6)

Применяется для инвертирования битов, простого шифрования и обмена значений без временной переменной.

Операция NOT (НЕ)

Инвертирует все биты: 0 становится 1, 1 становится 0. Обозначается символом ~.

  NOT 1010 = 0101

Битовые сдвиги

Сдвиги перемещают все биты числа влево или вправо на указанное количество позиций.

Сдвиг влево («)

Каждый сдвиг влево на 1 позицию умножает число на 2.

  0011 << 2 = 1100
  (3 × 2 × 2 = 12)

Сдвиг вправо (»)

Каждый сдвиг вправо на 1 позицию делит число на 2 с отбрасыванием остатка.

  1100 >> 2 = 0011
  (12 ÷ 2 ÷ 2 = 3)

Как перевести число из одной системы в другую

Из десятичной в двоичную

Последовательно делите число на 2 и записывайте остатки. Двоичное число – остатки в обратном порядке.

Пример: переведём 25 в двоичную систему

25 ÷ 2 = 12, остаток 1
12 ÷ 2 = 6,  остаток 0
6 ÷ 2 = 3,   остаток 0
3 ÷ 2 = 1,   остаток 1
1 ÷ 2 = 0,   остаток 1

Результат: 11001₂

Из двоичной в десятичную

Умножьте каждый бит на соответствующую степень двойки и сложите результаты.

Пример: 11001₂ = 1×16 + 1×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25₁₀

Где применяются двоичные вычисления

Программирование. Работа с флагами, масками, битовыми полями в структурах данных. Оптимизация производительности через битовые операции вместо арифметических.

Системное администрирование. Расчёт сетевых масок, IP-адресов, прав доступа в Unix-системах.

Криптография. Многие алгоритмы шифрования основаны на побитовых операциях.

Цифровая электроника. Проектирование логических схем, микроконтроллеров, процессоров.

Образование. Изучение архитектуры компьютеров, систем счисления на курсах информатики.

Знаковые и беззнаковые числа

Беззнаковые двоичные числа представляют только неотрицательные значения (0 и выше). В 8-битном формате диапазон: от 0 до 255.

Знаковые числа используют старший бит как знаковый: 0 для положительных, 1 для отрицательных. Отрицательные числа обычно представляются в дополнительном коде – инверсия всех битов плюс 1.

Пример: −5 в 8-битном дополнительном коде

• 5 = 00000101
• Инверсия: 11111010
• Добавляем 1: 11111011

Диапазон 8-битных знаковых чисел: от −128 до 127.