Обновлено:
Как рассчитать подъемную силу шара наполненного
Воздушный шар поднимается вверх благодаря закону Архимеда – выталкивающая сила, действующая на тело в газе, равна весу вытесненного воздуха. planetcalc.ru Шар взлетит, если эта сила превысит суммарную массу оболочки, газа внутри и полезного груза.
Ключевые понятия
Подъемная сила – разница между массой воздуха, вытесненного шаром, и массой газа в оболочке. aviamodeling.ru Величина показывает, сколько может поднять шар, включая собственный вес оболочки.
Условие подъема шара:
- Газ внутри легче окружающего воздуха.
- Вытесненный воздух тяжелее суммарной массы шара.
- Разность масс превышает массу оболочки.
Формулы для расчета подъемной силы
Основная формула
$$F = g \cdot V \cdot (\rho_{возд} - \rho_{газа})$$где:
- g = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения
- V – объем шара, м³
- ρ_возд – плотность окружающего воздуха, кг/м³
- ρ_газа – плотность газа внутри, кг/м³
Плотность газа через уравнение Клапейрона-Менделеева
$$\rho = \frac{pM}{RT}$$где:
- p – давление, Па
- M – молярная масса газа, кг/моль
- R = 8,31 Дж/(моль·К) – универсальная газовая постоянная
- T – температура, К
Молярные массы:
- Воздух: M = 0,029 кг/моль
- Гелий: M = 0,004 кг/моль
- Водород: M = 0,002 кг/моль
Плотность воздуха при нормальных условиях (t = 0 °C, p = 101 325 Па)
$$\rho_{возд} = \frac{101325 \cdot 0{,}029}{8{,}31 \cdot 273} \approx 1{,}29 \text{ кг/м}^3$$$$\rho_{He} = \frac{101325 \cdot 0{,}004}{8{,}31 \cdot 273} \approx 0{,}18 \text{ кг/м}^3$$Расчет подъемной силы шара с гелием
Для гелиевого наполнения формула упрощается. Разность плотностей при нормальных условиях:
$$\Delta\rho = \rho_{возд} - \rho_{He} \approx 1{,}29 - 0{,}18 = 1{,}11 \text{ кг/м}^3$$Подъемная сила на каждый кубический метр объема:
$$F_1 = 9{,}81 \cdot 1{,}11 \approx 10{,}9 \text{ Н/м}^3$$Практически это означает: 1 м³ гелия поднимает ≈ 1,1 кг полезной нагрузки (без учета оболочки).
Быстрый расчет гелиевого шара
| Объем шара | Подъемная сила (без оболочки) | Полезная нагрузка* |
|---|---|---|
| 10 л | 0,11 Н (~11 г) | ~9 г |
| 1 м³ | 10,9 Н (~1,1 кг) | ~1 кг |
| 10 м³ | 109 Н (~11 кг) | ~10 кг |
| 100 м³ | 1090 Н (~110 кг) | ~100 кг |
*С вычетом массы оболочки (~2 г для латексного шара 10 л, ~50–100 г для оболочки 1 м³)
Пример задачи
Условие: Воздушный шар имеет объем 1600 м³. Снаряжение весит 4500 Н. Шар заполнен гелием. Найти подъемную силу.
Решение:
Вес вытесненного воздуха: $P_{возд} = m_{возд} \cdot g = \rho_{возд} \cdot V \cdot g = 1{,}29 \cdot 1600 \cdot 9{,}81 \approx 20\,255$ Н
Вес гелия: $P_{He} = 0{,}18 \cdot 1600 \cdot 9{,}81 \approx 2824$ Н
Подъемная сила: $F = P_{возд} - P_{He} - 4500 \approx 20\,255 - 2824 - 4500 \approx 12\,931$ Н ≈ 12,9 кН
Расчет подъемной силы шара с горячим воздухом
Для тепловых аэростатов используется разница температур. При нагреве воздух расширяется – его плотность падает пропорционально отношению температур.
Формула через абсолютные температуры
$$\rho_{гор} = \rho_{возд} \cdot \frac{T_{снар}}{T_{гор}}$$где T – температура в кельвинах (TK = T°C + 273).
Подъемная сила:
$$F = gV\rho_{возд} \left(1 - \frac{T_{снар}}{T_{гор}}\right)$$Пример: шар с горячим воздухом
Дано: V = 100 м³, tснар = 15 °C, tгор = 85 °C.
Решение:
Tснар = 288 К, Tгор = 358 К
$$\rho_{гор} = 1{,}29 \cdot \frac{288}{358} \approx 1{,}04 \text{ кг/м}^3$$$$F = 9{,}81 \cdot 100 \cdot (1{,}29 - 1{,}04) = 9{,}81 \cdot 25 \approx 245 \text{ Н}$$Шар поднимет ≈ 25 кг (включая оболочку).
Задача из ЕГЭ: определение минимального радиуса шара
Условие: Какой радиус должен иметь наполненный гелием воздушный шар, чтобы он мог подняться в воздух? Масса 1 м² оболочки – 50 г. Температура воздуха 27 °C, давление 100 кПа.
Решение:
Условие равновесия: сила Архимеда = сила тяжести
$$\rho_b gV = (m_0 S + m)g$$где m_0 = 0,05 кг/м², S = 4πr², V = 4/3πr³, m – масса гелия.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева:
$$\rho_b = \frac{pM_b}{RT}, \quad m = \frac{pVM_{He}}{RT}$$Подставляя и решая относительно r, получаем:
$$r = \frac{3m_0RT}{p(M_b - M_{He})}$$$$r = \frac{3 \cdot 0{,}05 \cdot 8{,}31 \cdot 300}{100\,000 \cdot (0{,}029 - 0{,}004)} \approx 0{,}42 \text{ м}$$Ответ: минимальный радиус ≈ 0,42 м.
Ограничения на температуру нагрева
Температура воздуха внутри теплового шара ограничена свойствами оболочки:
- Папиросная бумага: до 80–100 °C (риск возгорания)
- Шелк, хлопок: до 100–120 °C
- Современные ткани с огнестойкой пропиткой: до 130–150 °C
- Специальные материалы (vectran, дакрон): до 200 °C
Краткий алгоритм расчета
- Определите тип газа (гелий, водород, горячий воздух).
- Найдите плотность газа при заданных условиях (таблица или формула).
- Рассчитайте силу Архимеда: FA = ρвозд · V · g.
- Найдите вес газа в шаре: Pгаза = ρгаза · V · g.
- Подъемная сила: F = FA − Pгаза.
- Полезная нагрузка: Fпол = F − mоб · g.
Для гелиевых шаров при нормальных условиях: ≈ 1,1 кг на 1 м³ минус масса оболочки.
Точные расчеты зависят от атмосферного давления и температуры. При отклонении от нормальных условий (760 мм рт. ст., 0 °C) используйте уравнение Клапейрона-Менделеева.
Часто задаваемые вопросы
Чему равна подъемная сила воздушного шара?
Подъемная сила равна разности между весом вытесненного воздуха и весом газа внутри шара: F = gV(ρ_возд − ρ_газа). Она показывает, какой груз (включая оболочку) шар способен поднять.
Какова плотность гелия и воздуха при нормальных условиях?
Плотность гелия ≈ 0,18 кг/м³, воздуха ≈ 1,29 кг/м³. Разность плотностей ≈ 1,1 кг/м³ означает, что 1 м³ гелия создает подъемную силу около 11 Н.
Сколько поднимет один гелиевый шарик 10 литров?
Шарик объемом 10 л создает подъемную силу ≈ 0,11 Н (≈ 11 г). За вычетом массы оболочки (≈ 2 г) полезная нагрузка составит около 9 г.
Как температура влияет на подъемную силу горячего воздуха?
При нагреве воздух расширяется, его плотность падает. Разница температур внутри и снаружи шара определяет подъемную силу: чем горячее воздух внутри, тем она больше.
Какие ограничения есть у воздушных шаров на горячем воздухе?
Температура нагрева ограничена термостойкостью оболочки. Для бумажных шаров – не выше 80–100 °C, для специальных тканей – до 130–150 °C.